cho tam giác ABC đều cạnh a có G là trọng tâm. Tính `|vec{GA}-vec{GB}|` theo `a`

Trong một tam giác đều ABC, trọng tâm G chia mỗi trung tuyến thành tỷ lệ 2:1, nghĩa là khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 chiều dài của trung tuyến. Chúng ta hãy tính toán khoảng cách giữa G và B, cũng như G và A, rồi từ đó tìm ra giá trị |vec{GA} - vec{GB}|.

Đầu tiên, tọa độ các điểm A, B, C có thể được xác định như sau (giả sử tam giác đều nằm trong mặt phẳng tọa độ):

- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a/2, (a√3)/2)

Tọa độ của trọng tâm G được tính bằng cách lấy trung bình tọa độ của các đỉnh A, B, C:

G = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3)

=> G = ((0 + a + a/2)/3, (0 + 0 + (a√3)/2)/3)
=> G = (a/2 + a/6, a√3/6) = (a/2 + a/6, a√3/6)
=> G = (2a/6 + a/6, a√3/6) = (3a/6, a√3/6) = (a/2, a√3/6)

Bây giờ, ta tính vectơ GA và vectơ GB:

- vec{GA} = vec{G} - vec{A} = (a/2, a√3/6) - (0, 0) = (a/2, a√3/6)
- vec{GB} = vec{G} - vec{B} = (a/2, a√3/6) - (a, 0) = (a/2 - a, a√3/6 - 0) = (-a/2, a√3/6)

Tiếp theo, ta tính giá trị |vec{GA} - vec{GB}|:

vec{GA} - vec{GB} = (a/2, a√3/6) - (-a/2, a√3/6) = (a/2 + a/2, a√3/6 - a√3/6) = (a, 0)

Cuối cùng, độ dài của vectơ này là:

|vec{GA} - vec{GB}| = sqrt((a)^2 + (0)^2) = sqrt(a^2) = a.

Vậy nên kết quả là:

|vec{GA} - vec{GB}| = a.