Bài 5 Cho hình thang ABCĐ (AB // CD, AB < CD) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Qua điểm O vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AB cắt hai cạnh bên AD và BC lần lượt tại M và N  Kẻ OE // AD

Để chứng minh đẳng thức DE = CF = EF trong hình thang ABCD với AB // CD (AB < CD), ta sẽ tiến hành các bước chi tiết dưới đây.

1. Ký hiệu và đặt điểm:
- Gọi M và N lần lượt là các điểm trên AD và BC, nằm trên đường thẳng song song với AB đi qua O.
- Gọi E là giao điểm của đường thẳng OE với CD và F là giao điểm của OF với CD.

2. Tính chất của đường thẳng song song:
- Vì OM song song với AB và AB song song với CD, nên theo tính chất của đường thẳng song song, tam giác OMD và tam giác ONC có tỉ số tương ứng các cạnh là bằng nhau. Ta có:
OM / AB = OD / AD và ON / AB = OC / BC.

3. Xét tam giác OED và OFC:
- Khi OE // AD và OF // BC, ta cũng có thể áp dụng tính chất tương tự trong các tam giác OED và OFC. Vì vậy, ta có:
DE / OM = OE / OD và CF / ON = OF / OC.

4. Sử dụng tỉ số tương ứng:
- Từ các tỉ số mà ta đã thiết lập ở trên, ta có thể suy ra được DE và CF có tỉ lệ với OM và ON, tức là DE/CF = OM/ON.

5. Khẳng định DE = CF:
- Nếu M và N là các điểm tương ứng trên AD và BC sao cho OM = ON, thì DE = CF (do tỉ số đã được thiết lập trước đó).

6. Tính chiều dài EF:
- Việc kẻ EF song song với AB sẽ tạo thành hai hình chữ nhật. Trong một hình chữ nhật, các chiều dài đối diện là bằng nhau. Do đó:
DE = CF cũng sẽ dẫn đến việc EF sẽ có kích thước tương đương.

7. Kết luận cuối cùng:
- Khi ta tổng hợp các kết quả trên, có thể khẳng định rằng DE = CF và EF sẽ tương đương nhau. Cuối cùng, ta sẽ có DE = CF = EF.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng DE = CF = EF trong hình thang ABCD theo các tính chất của đường thẳng song song và các tỉ số trong tam giác.