Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD.  AC cắt BD tại O, M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB. a. Tìm tỉ số bằng với tỉ số  $frac{OA}{OB}$ b. M , O , N thẳng hàng

a. Để tìm tỉ số $\frac{OA}{OB}$, trước tiên chúng ta cần xem xét hình tròn O và các đoạn thẳng trong hình thang. Trong hình thang ABCD với AB // CD, chúng ta có thể sử dụng tính chất của các trung điểm và đoạn thẳng.

Gọi chiều dài của các cạnh AB và CD lần lượt là a và b, với a < b. M là trung điểm của CD, N là trung điểm của AB. Từ đó, chúng ta có:

- Đoạn OM và ON sẽ tỏa ra từ O tới hai điểm M và N.
- Để tính tỉ số $\frac{OA}{OB}$, chúng ta thiết lập tỉ lệ giữa các đoạn thẳng dựa trên chiều dài của hình thang và các trung điểm.

Từ các tính chất của hình thang và các đoạn thẳng, chúng ta có thể thấy rằng:

\[
\frac{OA}{OB} = \frac{b}{a}
\]

Vậy nên tỉ số mà chúng ta tìm được là $\frac{OA}{OB} = \frac{b}{a}$.

b. Để chứng minh rằng M, O, N thẳng hàng, chúng ta sẽ dựa vào hình học và các tính chất của trung điểm.

M và N là trung điểm nên OM song song với AN. Nếu O nằm trên đoạn MN, thì O cũng phải nằm trên đường thẳng nối M và N.

Chúng ta có thể sử dụng quy tắc đồng dạng tam giác để chỉ ra rằng tam giác OAB và tam giác OCD là đồng dạng do các cạnh tương ứng của chúng tỷ lệ với nhau. Vì vậy, từ đó suy ra rằng các điểm M, O, N phải nằm trên cùng một đường thẳng.

Do đó, chúng ta khẳng định rằng M, O, N thẳng hàng.