giúp tớ câu 3 và câu 4 với ạ giải chi tiết luôn nha

Câu 3: Để tìm số điểm cực trị của hàm số f(x), trước tiên ta tìm đạo hàm f'(x) và sau đó giải phương trình f'(x) = 0.

Cho hàm số: f'(x) = x(x + 1)(1 - x)^4.

Để giải phương trình f'(x) = 0, ta xét từng phần trong biến số x:

1. x = 0
2. x + 1 = 0 → x = -1
3. (1 - x)^4 = 0 → 1 - x = 0 → x = 1

Như vậy, ta có ba nghiệm: x = 0, x = -1 và x = 1.

Tiếp theo, ta cần xác định tính chất của các điểm này để xem chúng có phải là điểm cực trị hay không. Ta có thể sử dụng định lý nghiệm bậc nhất về dấu của f'(x):

- Khi x < -1, chọn x = -2: f'(-2) = (-2)(-1)(3)^4 > 0 → Hàm tăng.
- Khi -1 < x < 0, chọn x = -0.5: f'(-0.5) = (-0.5)(0.5)(1.5)^4 < 0 → Hàm giảm.
- Khi 0 < x < 1, chọn x = 0.5: f'(0.5) = (0.5)(1.5)(0.5)^4 > 0 → Hàm tăng.
- Khi x > 1, chọn x = 2: f'(2) = (2)(3)(-1)^4 > 0 → Hàm tăng.

Từ các xét trên, ta có thể xác định rằng:

- x = -1 là điểm cực đại (hàm chuyển từ tăng sang giảm).
- x = 0 là điểm cực tiểu (hàm chuyển từ giảm sang tăng).
- x = 1 là điểm ổn định (hàm chuyển từ tăng sang không đổi).

Vậy, hàm số có 2 điểm cực trị chính: một cực đại tại x = -1 và một cực tiểu tại x = 0.

Câu 4: Hàm số y = -x^3 + 3x^2 + 2 có dạng một bậc ba. Để tìm các điểm cực trị của hàm số này, chúng ta cần tính đạo hàm y' và giải phương trình y' = 0.

Đạo hàm y' = -3x^2 + 6x.

Giải phương trình y' = 0:

-3x^2 + 6x = 0
=> -3x(x - 2) = 0

Ta có các nghiệm:

1. x = 0
2. x = 2

Để xác định tính chất của các điểm này, ta dùng định lý nghiệm bậc nhất về dấu của y':

- Khi x < 0, chọn x = -1: y'(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 < 0 → Hàm giảm.
- Khi 0 < x < 2, chọn x = 1: y'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 > 0 → Hàm tăng.
- Khi x > 2, chọn x = 3: y'(3) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 < 0 → Hàm giảm.

Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận:

- x = 0 là điểm cực tiểu (hàm chuyển từ giảm sang tăng).
- x = 2 là điểm cực đại (hàm chuyển từ tăng sang giảm).

Như vậy, hàm số y có 2 điểm cực trị: một cực tiểu tại x = 0 và một cực đại tại x = 2.