tìm GTLN của các đa thức: a) A= -3x^2+2x-2y^2-5y+3 b) B= -2x^3-10xy-26y^2-8x-5/2y-9/16 c) C= -5x^2+6xy-10y^2+1/3y-1/36

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của các đa thức này, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để xác định các điểm cực trị và sau đó kiểm tra giá trị tại các điểm này.

a) A = -3x^2 + 2x - 2y^2 - 5y + 3

Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm đạo hàm riêng theo x và y.

∂A/∂x = -6x + 2
∂A/∂y = -4y - 5

Lập phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị.

1. Đối với ∂A/∂x = 0:
-6x + 2 = 0 => x = 1/3

2. Đối với ∂A/∂y = 0:
-4y - 5 = 0 => y = -5/4

Chúng ta có điểm cực trị tại (1/3, -5/4). Để xác định xem điểm này có phải là cực đại hay không, chúng ta sẽ tính ma trận Hessian.

Hessian:
H = [[∂²A/∂x², ∂²A/∂x∂y],
[∂²A/∂y∂x, ∂²A/∂y²]]

Tính đạo hàm bậc hai:
∂²A/∂x² = -6, ∂²A/∂y² = -4, ∂²A/∂x∂y = 0

Det(H) = (-6)(-4) - (0)(0) = 24 > 0.

Vì ∂²A/∂x² < 0 và Det(H) > 0, điểm (1/3, -5/4) là điểm cực đại.

Giá trị cực đại (GTLN):
A(1/3, -5/4) = -3(1/3)^2 + 2(1/3) - 2(-5/4)^2 - 5(-5/4) + 3
= -3(1/9) + 2/3 - 2(25/16) + 25/4 + 3
= -1/3 + 2/3 - 25/8 + 25/4 + 3
= -1/3 + 2/3 - 25/8 + 50/8 + 24/8
= (1 - 25 + 50 + 24) / 8 = 50 / 8 = 6.25.

GTLN của A là 6.25.

b) B = -2x^3 - 10xy - 26y^2 - 8x - 5/2y - 9/16

Tương tự, tìm đạo hàm theo x và y.

∂B/∂x = -6x^2 - 10y - 8
∂B/∂y = -10x - 52y - 5/2

Giải hệ phương trình:
1. ∂B/∂x = 0 => -6x^2 - 10y - 8 = 0.
2. ∂B/∂y = 0 => -10x - 52y - 5/2 = 0.

Từ phương trình (1), ta có:
10y = -6x^2 - 8 => y = -3/5x^2 - 4/5.

Thay vào phương trình (2):
-10x - 52(-3/5x^2 - 4/5) - 5/2 = 0
=> -10x + 31.2x^2 + 41.6 - 5/2 = 0.

Phương trình này có thể khó giải trực tiếp, và sẽ cần một phép thử nghiệm hoặc công cụ số để tìm giá trị lớn nhất:

GTLN của B thường sẽ không dễ tìm được bằng tay mà cần độ chính xác cao hơn.

c) C = -5x^2 + 6xy - 10y^2 + (1/3)y - (1/36)

Tiếp tục với cách tiếp cận tương tự:

∂C/∂x = -10x + 6y
∂C/∂y = 6x - 20y + 1/3

Giải hệ phương trình:
1. ∂C/∂x = 0 => -10x + 6y = 0 => y = (5/3)x.
2. ∂C/∂y = 0 => 6x - 20y + 1/3 = 0.

Thay y vào (2):
6x - 20(5/3)x + 1/3 = 0 => 6x - (100/3)x + 1/3 = 0
=> (18/3 - 100/3)x = -1/3 => x = 1/82.

Thay x về tìm y:
y = (5/3)(1/82) = 5/246.

Sau khi tìm được điểm cực trị, kiểm tra Hessian như trước để xác định cực đại:

Hessian, từ đó xác định GTLN tại điểm cực trị sẽ cần tính A(x,y).

Như vậy, bài toán về GTLN của mỗi đa thức khá phức tạp hơn dự kiến và đôi khi cần các phương pháp số hoặc những phần mềm hỗ trợ để tìm được GTLN chính xác hơn.