Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, thì (x+1)^2n−x^2n−2x−1 chia hết cho x(x+1)(2x+1)

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), biểu thức \( (x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 \) chia hết cho \( x(x+1)(2x+1) \), ta sẽ bắt đầu phân tích từng bước.

Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức cần xét như sau:

\( P(x) = (x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 \).

Để chứng minh rằng \( P(x) \) chia hết cho \( x(x+1)(2x+1) \), ta cần kiểm tra giá trị của \( P(x) \) tại các giá trị \( x = 0 \), \( x = -1 \) và \( x = \frac{-1}{2} \) (đây là các nghiệm của \( x(x+1)(2x+1) = 0 \)).

1. Tính \( P(0) \):

\( P(0) = (0+1)^{2n} - 0^{2n} - 2 \cdot 0 - 1 = 1 - 0 - 0 - 1 = 0 \).

2. Tính \( P(-1) \):

\( P(-1) = (-1+1)^{2n} - (-1)^{2n} - 2(-1) - 1 = 0 - 1 + 2 - 1 = 0 \).

3. Tính \( P\left(-\frac{1}{2}\right) \):

Tính \( (-\frac{1}{2}+1)^{2n} - (-\frac{1}{2})^{2n} - 2(-\frac{1}{2}) - 1 \):
- \( -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \)
- \( P\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} - \left(-\frac{1}{2}\right)^{2n} + 1 - 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} + 1 - 1 = 0 \).

Từ ba phép tính trên, ta thấy rằng \( P(0) = 0 \), \( P(-1) = 0 \), và \( P\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \). Điều này cho thấy rằng \( P(x) \) có ba nghiệm.

Vì \( P(x) \) là một đa thức bậc \( 2n \) và đã có ba nghiệm là 0, -1, và -1/2, thì \( P(x) \) có thể được viết dưới dạng:

\( P(x) = k \cdot x(x + 1)(2x + 1) \)

với \( k \) là một hằng số. Do \( P(x) \) là một đa thức bậc \( 2n \), còn \( x(x + 1)(2x + 1) \) là một đa thức bậc 3. Vì vậy \( P(x) \) chia hết cho \( x(x + 1)(2x + 1) \) cho mọi \( n \).

Kết luận, ta đã chứng minh \( P(x) = (x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 \) chia hết cho \( x(x + 1)(2x + 1) \) với mọi số tự nhiên \( n \).