1.6+4.9+7.12+......+100.105

Để giải bài toán này, ta cần xác định quy luật của dãy số \( 1.6, 4.9, 7.12, \ldots, 100.105 \).

Ta nhận thấy rằng mỗi số hạng của dãy số có dạng \( n(n + 5) \), với \( n \) là số tự nhiên từ 1 đến 100.

Cụ thể:
- Số hạng đầu tiên: \( 1 \cdot (1 + 5) = 1 \cdot 6 = 6 \)
- Số hạng thứ hai: \( 4 \cdot (4 + 5) = 4 \cdot 9 = 36 \)
- Số hạng thứ ba: \( 7 \cdot (7 + 5) = 7 \cdot 12 = 84 \)
- ...
- Số hạng thứ 100: \( 100 \cdot (100 + 5) = 100 \cdot 105 = 10500 \)

Để tính tổng dãy số này từ \( n=1 \) đến \( n=100 \), ta viết tổng:

\[ S = \sum_{n=1}^{100} n(n + 5) \]

Sử dụng tính chất của tổng:

\[ S = \sum_{n=1}^{100} (n^2 + 5n) \]

Ta tách thành hai tổng riêng biệt:

\[ S = \sum_{n=1}^{100} n^2 + 5 \sum_{n=1}^{100} n \]

Biết rằng tổng các số tự nhiên từ 1 đến \( N = 100 \) được tính bằng công thức:

\[ \sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N + 1)}{2} \]

Và tổng bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến \( N = 100 \) được tính bằng công thức:

\[ \sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6} \]

Áp dụng công thức này cho \( N = 100 \):

1. Tính \( \sum_{n=1}^{100} n^2 \):

\[ \sum_{n=1}^{100} n^2 = \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} = \frac{2030100}{6} = 338350 \]

2. Tính \( \sum_{n=1}^{100} n \):

\[ \sum_{n=1}^{100} n = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050 \]

Bây giờ, thay cả hai tổng vào công thức tổng ban đầu:

\[ S = 338350 + 5 \cdot 5050 \]

Tính \( 5 \cdot 5050 = 25250 \), nên

\[ S = 338350 + 25250 = 363600 \]

Vậy tổng của dãy số này là \( 363600 \).