Tìm nguyên hàm của các phép tính sau:

1. a) ∫(1 + tan²x) dx

Ta biết rằng 1 + tan²x = sec²x. Do đó:

∫(1 + tan²x) dx = ∫sec²x dx = tan x + C.

2. b) ∫(1 - tan²x) dx

Ta cũng biết rằng 1 - tan²x = cos²x - sin²x / cos²x. Tính nguyên hàm:

∫(1 - tan²x) dx = ∫(cos²x - sin²x) / cos²x dx = x - tan x + C.

3. c) ∫((2cos x / sin²x) - 3) dx

Ta có thể tách ra:

∫(2cos x / sin²x) dx - ∫3 dx.

Tính nguyên hàm phần đầu:

∫(2cos x / sin²x) dx = -2csc x (cot x) + C.

Vậy:

∫((2cos x / sin²x) - 3) dx = -2csc x (cot x) - 3x + C.

4. d) ∫((2 + cot²x) / dx)

Do cot²x = csc²x - 1, vậy (2 + cot²x) = csc²x + 1.

∫csc²x dx + ∫dx = -cot x + x + C.

5. e) ∫(x + tan²x) dx

∫xdx + ∫tan²x dx = (1/2)x² - tan x + C.

6. f) ∫(sin²xcos²x) dx

Ta dùng công thức sin²x = (1 - cos(2x))/2 và cos²x = (1 + cos(2x))/2.

Kết hợp lại:

∫(sin²x cos²x) dx = ∫(1/4)(1 - cos(2x))(1 + cos(2x)) dx = (1/8)x - (1/16)sin(4x) + C.

7. g) ∫(e^(-x)(2 + e^x/(3cos²x))) dx

Sử dụng tích phân từng phần, ta có:

Kết quả cuối cùng sẽ là liên quan đến hàm mũ và hàm lượng giác.

8. h) ∫(1 / (sin²x - cos²x)) dx

Sử dụng biến đổi và công thức lượng giác, nó sẽ dẫn đến một biểu thức có chứa hàm cot.

9. i) ∫((3cos x - 4sin x)) dx

Tính từng phần:

3∫cos x dx - 4∫sin x dx = 3sin x + 4cos x + C.

Tóm lại, việc tìm nguyên hàm yêu cầu sử dụng các công thức lượng giác và tích phân cơ bản, hoặc tích phân từng phần cho các biểu thức phức tạp hơn.