giải phương trình nghiệm nguyên sau x^4=y^4+65

Để giải phương trình x^4 = y^4 + 65, trước tiên ta có thể viết lại phương trình theo dạng:

x^4 - y^4 = 65.

Ta nhận thấy rằng x^4 - y^4 có thể được phân tích thành:

(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 65.

Biểu thức 65 có thể phân tích thành tích của các cặp số nguyên dương, như sau:

1. 1 * 65
2. 5 * 13

Bây giờ, để giải phương trình, ta cần xem xét từng cặp ước số này.

Trước tiên, xem xét cặp (1, 65):

1. x^2 - y^2 = 1
2. x^2 + y^2 = 65

Ta có hệ phương trình:

x^2 - y^2 = 1 (1)
x^2 + y^2 = 65 (2)

Cộng hai phương trình (1) và (2):

2x^2 = 66 => x^2 = 33 => x = ±√33 (không nguyên).

Chuyển sang cặp (5, 13):

1. x^2 - y^2 = 5
2. x^2 + y^2 = 13

Ta có hệ phương trình:

x^2 - y^2 = 5 (1)
x^2 + y^2 = 13 (2)

Cộng hai phương trình (1) và (2):

2x^2 = 18 => x^2 = 9 => x = ±3.

Thay x = 3 vào phương trình (1):

3^2 - y^2 = 5 => 9 - y^2 = 5 => y^2 = 4 => y = ±2.

Do đó, một số nghiệm nguyên của phương trình x^4 = y^4 + 65 là (x, y) = (3, 2) và (x, y) = (3, -2), (x, y) = (-3, 2) và (x, y) = (-3, -2).

Tóm lại, các cặp nghiệm nguyên của phương trình x^4 = y^4 + 65 là:

(x, y) = (3, 2), (3, -2), (-3, 2), và (-3, -2).