Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD a) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và SBD. Chứng minh rằng đường thẳng GK song song với mặt phẳng

a) Để chứng minh rằng đường thẳng GK song song với mặt phẳng (SAB), trước hết ta cần tìm hiểu về các trọng tâm của tam giác ABD và SBD.

Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABD và K là trọng tâm của tam giác SBD. Tọa độ của các điểm trong không gian có thể được xác định như sau:

- Gọi A, B, D, S có tọa độ lần lượt là:
A(0, 0, 0)
B(b, 0, 0)
D(0, d, 0)
S(0, 0, h)

Khi đó:

1. Tọa độ G (trọng tâm của tam giác ABD):
G = ((0 + b + 0)/3, (0 + 0 + d)/3, (0 + 0 + 0)/3) = (b/3, d/3, 0).

2. Tọa độ K (trọng tâm của tam giác SBD):
K = ((0 + b + 0)/3, (0 + 0 + d)/3, (h + 0 + 0)/3) = (b/3, d/3, h/3).

Bây giờ, để xét xem đường thẳng GK có song song với mặt phẳng (SAB) hay không, ta cần xác định vector GK và vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB).

Vector GK được tính bằng:
GK = K - G = (b/3 - b/3, d/3 - d/3, h/3 - 0) = (0, 0, h/3).

Mặt phẳng (SAB) có thể được xác định bởi ba điểm A, B, S. Để tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng này, ta cần hai vector nằm trong mặt phẳng:

- Vector AB = B - A = (b, 0, 0).
- Vector AS = S - A = (0, 0, h).

Thực hiện phép tích vectơ để tìm vector pháp tuyến n của mặt phẳng (SAB):
n = AB × AS = |i j k|
|b 0 0|
|0 0 h|

Tính toán:
n = (0 h - 0 0)i - (0 h - 0 b)j + (b 0 - 0 0)k = (0, 0, bh).

Vector pháp tuyến n không có thành phần x và y, chỉ có thành phần z. Vì vậy, chúng ta thấy rằng vector GK cũng chỉ có thành phần z. Điều này dẫn đến việc GK nằm trong phương nằm ngang, tức là GK sẽ song song với mặt phẳng (SAB).

b) Để xác định giao điểm của đường thẳng AK với mặt phẳng (SBD), ta cần có phương trình của đường thẳng AK và phương trình của mặt phẳng (SBD).

Đường thẳng AK được xác định bởi hai điểm A(0, 0, 0) và K(b/3, d/3, h/3). Ta có thể tìm phương trình tham số của đường thẳng AK:

x = 0 + t(b/3 - 0) = tb/3,
y = 0 + t(d/3 - 0) = td/3,
z = 0 + t(h/3 - 0) = th/3.

Tham số t có thể chạy từ 0 đến 1 để mô tả đoạn thẳng từ A đến K.

Phương trình mặt phẳng (SBD) có thể được xác định từ ba điểm S(0, 0, h), B(b, 0, 0) và D(0, d, 0). Ta đã tìm thấy vector pháp tuyến n trước đó là (0, 0, bh).

Gọi phương trình mặt phẳng (SBD) có dạng:
0 x + 0 y + bh z = b 0 + d 0 + h h,
hay bhz = h^2.
Từ đó ta có phương trình mặt phẳng (SBD): z = h^2/(bh).

Để tìm giao điểm, ta thay tọa độ x, y, z của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng (SBD):

th/3 = h^2/(bh).

Giải phương trình sẽ cho t, từ đó có thể tính ra được tọa độ giao điểm.

Để giải tiếp, ta bắt đầu nhân cả hai bên với 3, ta có:

th = 3h^2/(bh)
=> tb = 3h
=> t = 3h/b.

Lấy t = 3h/b vào trong các phương trình tham số của AK, ta có điểm giao nhau với mặt phẳng (SBD):

x = (3h/b)(b/3) = h,
y = (3h/b)(d/3) = hd/b,
z = (3h/b)(h/3) = h^2/(b).

Vậy tọa độ giao điểm của con đường thẳng AK với mặt phẳng (SBD) là (h, hd/b, h^2/(b)).