Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O .vẽ đường tròn đường kính OA ,đường tròn này cắt đường tròn tâm O tại hai điểm phân biệt B và C ,kẻ BI là đường kính của đường tròn đường kính OA,

a) Để chứng minh rằng AB và BC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O, ta thực hiện như sau:

1. Ta có đường tròn tâm O và bán kính R. Vì A nằm ngoài đường tròn, khoảng cách OA > R.
2. Vẽ đường tròn đường kính OA, có tâm tại điểm trung điểm của OA, chúng ta có hai điểm giao nhau với đường tròn tâm O là B và C.
3. Đường kính BI của đường tròn đường kính OA sẽ cắt OA tại điểm I, và BI vuông góc với OA (điều này đúng bởi vì đoạn đường kính vuông góc với dây cung).
4. Đường kính BK của đường tròn tâm O cũng sẽ vuông góc với dây BC tại điểm K (tương tự như trên).
5. Xét tam giác ABO, vì B và C thuộc đường tròn tâm O nên OB = OC = R. Do đó, AB vuông góc với OB và AC vuông góc với OC, nghĩa là AB và BC vuông góc với bán kính tại B và C.
6. Khi đó, theo định nghĩa, AB và BC chính là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm B và C.

b) Để chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn B bán kính BC, ta thực hiện như sau:

1. Tại điểm B, do BK là đường kính của đường tròn tâm O, nghĩa là K và I đều nằm trên đường kính của OA và đường tròn B.
2. Theo định nghĩa, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, thì đó là tiếp tuyến.
3. Đường thẳng IK vuông góc tại B với bán kính OB (vì OB thuộc đường tròn O, và BK là đường kính).
4. Do đó, IK vuông góc với OB tại điểm B, đồng nghĩa với việc IK là tiếp tuyến của đường tròn B với bán kính BC.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của đề bài.