16. Tích của tử số và mẫu số của một phân số bằng 200, nếu chia cả tử và mẫu của phân số đó cho 5 thì ta sẽ nhận được một phân số tối giản. Tìm phân số đó.

Gọi phân số đó là a/b. Theo đề bài, ta có:

a * b = 200.

Nếu chia cả tử số và mẫu số cho 5, ta có phân số mới là (a/5) / (b/5) = a/b, nhưng với điều kiện là a/5 và b/5 phải là phân số tối giản.

Một phân số tối giản là khi tử số và mẫu số không có ước chung nào khác ngoài 1. Nghĩa là, nếu a/5 và b/5 tối giản, thì a và b phải không có ước chung nào ngoài 5, tức là a và b phải là bội của 5.

Do đó, ta có thể viết a = 5m và b = 5n, với m và n là các số nguyên, để từ đó:

(5m) * (5n) = 200

=> 25mn = 200.

=> mn = 8.

Bây giờ, ta cần tìm các cặp số nguyên dương (m, n) sao cho tích của chúng bằng 8. Các cặp (m, n) có thể là:

1. (1, 8)
2. (2, 4)
3. (4, 2)
4. (8, 1)

Từ đó, ta có các trường hợp cho phân số a/b như sau:

1. Nếu (m, n) = (1, 8), thì a = 51 = 5 và b = 58 = 40, phân số là 5/40 = 1/8 (được tối giản).
2. Nếu (m, n) = (2, 4), thì a = 52 = 10 và b = 54 = 20, phân số là 10/20 = 1/2 (được tối giản).
3. Nếu (m, n) = (4, 2), thì a = 54 = 20 và b = 52 = 10, phân số là 20/10 = 2 (được tối giản).
4. Nếu (m, n) = (8, 1), thì a = 58 = 40 và b = 51 = 5, phân số là 40/5 = 8 (được tối giản).

Tuy nhiên, phân số a/b ban đầu phải thỏa mãn điều kiện a * b = 200 và được tạo thành từ những cặp số m, n, mà không có ước chung nào khác ngoài 5 khi chia cho 5.

Vì vậy, phân số tối giản thỏa mãn nhiều điều kiện nhất là 1/2.

Do đó, phân số cần tìm là 10/20 hoặc 1/2.