Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 4x +2y=0. Viết phương trình tiếp tuyến (C) với đường thẳng (d): x+y=0

Để giải bài toán này, trước tiên, ta cần xác định phương trình đường tròn (C) từ phương trình tổng quát đã cho:

x² + y² - 4x + 2y = 0.

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng chuẩn của đường tròn.

Ta nhóm các hạng tử có x và y lại với nhau:

x² - 4x + y² + 2y = 0.

Tiếp theo, ta hoàn thành bình phương cho x và y.

- Đối với x:
x² - 4x = (x - 2)² - 4.

- Đối với y:
y² + 2y = (y + 1)² - 1.

Thay vào phương trình:

(x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 = 0
=> (x - 2)² + (y + 1)² - 5 = 0
=> (x - 2)² + (y + 1)² = 5.

Vậy đường tròn (C) có bán kính R = √5 và tâm O(2, -1).

Bước 2: Tìm tiếp tuyến của đường tròn (C) theo đường thẳng (d): x + y = 0.

Đường thẳng (d) có thể viết lại thành dạng y = -x, đây là đường thẳng đi qua gốc tọa độ (0,0) và có độ dốc -1.

Ta cần tìm điểm tiếp xúc A(x_A, y_A) sao cho đoạn OA vuông góc với đường thẳng (d). Do đó, vector từ O đến A sẽ phải sao cho nó vuông góc với vector chỉ phương của đường thẳng (d).

Vector chỉ phương của đường thẳng (d) là (1, -1). Vì O(2, -1) là tâm của đường tròn, ta cần tìm A sao cho OA vuông góc với (1, -1).

Điểm A(x_A, y_A) nằm trên đường tròn nên thỏa mãn phương trình:

(x_A - 2)² + (y_A + 1)² = 5.

Cùng lúc đó, điểm A cũng phải nằm trên đường thẳng (d), tức là y_A = -x_A. Thay thế y_A vào phương trình đường tròn:

(x_A - 2)² + (-x_A + 1)² = 5.

Giải phương trình này:

(x_A - 2)² + (-x_A + 1)² = 5
=> (x_A - 2)² + (1 - x_A)² = 5
=> (x_A² - 4x_A + 4) + (1 - 2x_A + x_A²) = 5
=> 2x_A² - 6x_A + 5 = 5
=> 2x_A² - 6x_A = 0
=> 2x_A(x_A - 3) = 0.

Ta có hai nghiệm: x_A = 0 hoặc x_A = 3.

Khi x_A = 0:
y_A = -x_A = 0 => A(0, 0).

Khi x_A = 3:
y_A = -x_A = -3 => A(3, -3).

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn qua các điểm A.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(x_0, y_0) trên đường tròn (C) có dạng:

(x - x_0)(x_0 - 2) + (y - y_0)(y_0 + 1) = 0.

- Với A(0, 0):

(x - 0)(0 - 2) + (y - 0)(0 + 1) = 0
=> -2x + y = 0 => y = 2x.

- Với A(3, -3):

(x - 3)(3 - 2) + (y + 3)(-3 + 1) = 0
=> (x - 3) + (y + 3)(-2) = 0
=> x - 3 - 2y - 6 = 0
=> x - 2y - 9 = 0 hay x - 2y = 9.

Do đó, kết quả:

1. Phương trình tiếp tuyến tại A(0, 0) là y = 2x.
2. Phương trình tiếp tuyến tại A(3, -3) là x - 2y = 9.

Hai phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) với đường thẳng (d) là:

y = 2x và x - 2y = 9.