Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn:2$x^{2}$+$y^{2}$+2xy+2x=4

Để tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình 2$x^{2}$ + $y^{2}$ + 2xy + 2x = 4, ta bắt đầu đơn giản hóa và tổ chức lại phương trình này.

1. Nhóm các hạng tử liên quan đến x và y lại với nhau:

2$x^{2}$ + 2xy + $y^{2}$ + 2x - 4 = 0.

2. Ta có thể viết lại phương trình trên theo cách khác để dễ dàng hơn cho việc phân tích:

2$x^{2}$ + 2xy + 2x + $y^{2}$ = 4.

3. Ta có thể nhóm lại theo x:

2$x^{2}$ + 2x(y + 1) + $y^{2}$ = 4.

4. Đây là một phương trình bậc hai theo biến x. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai Ax^2 + Bx + C = 0, với A = 2, B = 2(y + 1) và C = $y^{2}$ - 4, ta cần Delta (Δ) không âm để đảm bảo có nghiệm thực:

Δ = B^2 - 4AC = (2(y + 1))^2 - 4(2)(y^2 - 4).

Tính Δ:

Δ = 4(y + 1)^2 - 8(y^2 - 4) = 4(y^2 + 2y + 1) - 8y^2 + 32 = -4y^2 + 8y + 36.

Ta cần -4y^2 + 8y + 36 >= 0.

5. Giải bất phương trình này:

-4(y^2 - 2y - 9) >= 0, tức là y^2 - 2y - 9 <= 0.

Giải phương trình bậc hai y^2 - 2y - 9 = 0 bằng công thức nghiệm:

y = [2 ± √(4 + 36)] / 2 = [2 ± √40] / 2 = [2 ± 2√10] / 2 = 1 ± √10.

Các nghiệm là: [1 - √10, 1 + √10].

Ta cần tính giá trị gần đúng của √10 ≈ 3.16.

Do đó, khoảng giá trị cho y là:

-2.16 <= y <= 4.16.

Vì y là số nguyên, ta có thể có các giá trị y = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

6. Xét từng giá trị y này để tìm x:

- Với y = -2:
2$x^{2}$ + 2x(-1) + 4 = 4 → 2$x^{2}$ - 2x = 0 → 2x(x - 1) = 0 → x = 0 hoặc x = 1.

- Với y = -1:
2$x^{2}$ + 2x(0) + 1 = 4 → 2$x^{2}$ = 3 → không có nghiệm.

- Với y = 0:
2$x^{2}$ + 2x + 0 = 4 → 2$x^{2}$ + 2x - 4 = 0 → $x^{2}$ + x - 2 = 0 → x = [−1 ± √(1 + 8)] / 2 = [−1 ± 3] / 2.
Nghiệm là x = 1 hoặc x = -2.

- Với y = 1:
2$x^{2}$ + 2x(2) + 1 = 4 → 2$x^{2}$ + 4x - 3 = 0 → $x^{2}$ + 2x - 1.5 = 0.
Nghiệm là x = −1 ± √(1 + 1.5) / 1 = −1 ± √(2.5).
Không có nghiệm nguyên.

- Với y = 2:
2$x^{2}$ + 2x(3) + 4 = 4 → 2$x^{2}$ + 6x = 0 → 2x(x + 3) = 0 → x = 0 hoặc x = -3.

- Với y = 3:
2$x^{2}$ + 2x(4) + 9 = 4 → 2$x^{2}$ + 8x + 5 = 0.
Không có nghiệm nguyên.

- Với y = 4:
2$x^{2}$ + 2x(5) + 16 = 4 → 2$x^{2}$ + 10x + 12 = 0.
Không có nghiệm nguyên.

7. Tập hợp các cặp nghiệm nguyên:

- (0, -2), (1, -2), (-2, 0), (1, 0), (-3, 2), (0, 2).

Vậy các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình đã cho là:

(0, -2), (1, -2), (-2, 0), (1, 0), (-3, 2).