Cho tam giác ABC.Gọi J là điểm sao cho vecto 2JA+5JB+3JC=0.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm AB,BC.Chứng minh ba điểm M,N,J thẳng hàngTrời ơi cíu tui ,nghĩ quài ko ra huhu

Để chứng minh ba điểm M, N, J thẳng hàng, ta bắt đầu với điều kiện đã cho: vecto 2JA + 5JB + 3JC = 0.

Gọi O là một điểm tham khảo, ta có thể biểu diễn các điểm A, B, C và J theo vecto như sau:

A = OA, B = OB, C = OC, J = OJ.

Khi đó, vecto từ J đến A, B, C lần lượt được biểu diễn là:
- JA = A - J = OA - OJ
- JB = B - J = OB - OJ
- JC = C - J = OC - OJ

Thay vào phương trình:
2( OA - OJ ) + 5( OB - OJ ) + 3( OC - OJ ) = 0

Mở rộng ra:
2OA - 2OJ + 5OB - 5OJ + 3OC - 3OJ = 0
=> 2OA + 5OB + 3OC - (2 + 5 + 3)OJ = 0
=> 2OA + 5OB + 3OC - 10OJ = 0

Nếu ta giải phương trình này để tìm vecto OJ, ta sẽ được:
OJ = (1/10)(2OA + 5OB + 3OC).

Điều này cho thấy rằng điểm J có thể được biểu diễn như là một tổ hợp trọng số của điểm A, B, và C, với trọng số là 2/10, 5/10 và 3/10.

Giờ chúng ta xét các điểm M và N.
- Điểm M là trung điểm của đoạn AB, tức là: M = (A + B)/2.
- Điểm N là trung điểm của đoạn BC, tức là: N = (B + C)/2.

Để chứng minh rằng M, N, và J thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng vecto MJ và vecto NJ là địa chỉ cùng tỉ lệ với nhau. Nếu ta xét vecto MJ:

MJ = J - M = J - (A + B)/2
= J - (1/2)(A + B).

Tương tự, vecto NJ:
NJ = J - N = J - (B + C)/2
= J - (1/2)(B + C).

Chúng ta cần chỉ ra rằng MJ và NJ nằm trên cùng một đường thẳng, tức là tồn tại một số k sao cho NJ = k * MJ.

Ta thử tìm k trong trường hợp vecto MJ và NJ có cùng hướng:
Bằng cách thiết lập liên hệ giữa điểm J và hai điểm M, N theo tỉ lệ trọng số, từ đó hình thành mối quan hệ giữa các đoạn thẳng MJ và NJ. Nhận thấy rằng J cũng được tính bằng trọng số giữa A, B, C, có nghĩa là J sẽ nằm trên đoạn thẳng nối giữa M và N.

Kết luận, do mối quan hệ tỉ lệ của M, N và J theo loại tổ hợp trọng số, ta có thể khẳng định rằng ba điểm M, N, J thẳng hàng.