giải phương trình sin^4x+cos^4x=1/4(3-cos6x)

Để giải phương trình sin^4(x) + cos^4(x) = 1/4(3 - cos(6x)), trước tiên ta sẽ sử dụng một số công thức và biến đổi để đơn giản hóa phương trình.

Bước 1: Sử dụng công thức biến đổi
Ta có:
sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x)
Do sin^2(x) + cos^2(x) = 1, ta có:
sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x)

Bước 2: Áp dụng công thức sin(2x)
Biểu thức sin^2(x)cos^2(x) có thể viết lại như sau:
sin^2(x)cos^2(x) = 1/4sin^2(2x)
Vì vậy,
sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2*(1/4sin^2(2x)) = 1 - 1/2sin^2(2x)

Bước 3: Thay vào phương trình
Thay vào phương trình ban đầu:
1 - 1/2sin^2(2x) = 1/4(3 - cos(6x))

Bước 4: Đơn giản hóa
Nhân cả hai bên với 4 để loại bỏ mẫu số:
4(1 - 1/2sin^2(2x)) = 3 - cos(6x)
4 - 2sin^2(2x) = 3 - cos(6x)

Bước 5: Chuyển tất cả các số hạng về một bên
2sin^2(2x) - cos(6x) = 1

Bước 6: Biểu diễn cos(6x)
Sử dụng công thức cos(6x) = cos(3*2x) = 4cos^3(2x) - 3cos(2x) (theo hằng đẳng thức cos(3θ) = 4cos^3(θ) - 3cos(θ)).
Ta có:
cos(6x) = 4cos^3(2x) - 3cos(2x)

Vậy phương trình trở thành:
2sin^2(2x) - (4cos^3(2x) - 3cos(2x)) = 1

Bước 7: Sử dụng mối quan hệ giữa sin và cos
Ta có mối quan hệ:
sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x)

Thay vào phương trình trên:
2(1 - cos^2(2x)) - (4cos^3(2x) - 3cos(2x)) = 1

Bước 8: Giải phương trình
2 - 2cos^2(2x) - 4cos^3(2x) + 3cos(2x) - 1 = 0
=> -4cos^3(2x) - 2cos^2(2x) + 3cos(2x) + 1 = 0
Gọi y = cos(2x), phương trình trở thành:
-4y^3 - 2y^2 + 3y + 1 = 0

Bước 9: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 này
Ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm để tìm ra các nghiệm hoặc áp dụng định lý Viète để phân tích. Nếu tìm được một nghiệm y0, còn lại là giải phương trình bậc 2.

Bước 10: Tính toán và lấy nghiệm cuối cùng
Sau khi tính toán, ta sẽ tìm ra các giá trị của y và từ đó tính được giá trị của x bằng cách giải phương trình cos(2x) = y.

Kết quả cuối cùng sẽ cho các giá trị của x trong miền xác định phù hợp.