Thực hiện các phép tính sau: a) $frac{x^{2} - 2xy + y^{2} }{x^{2}-xy+y^{2}}$ . $frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}-y^{2}}$ b) $frac{a^{2}+ab}{b-a}$ : $frac{a+b}{2a^{2}-2b^{2}}$ c) ( $frac{2x+1}{2x-1}$ - $frac{2x-1}{2x+1}$ ) : $frac{4x}{10x-5}$

a) Đầu tiên, ta cần đơn giản hóa từng biểu thức một trong phép tính đã cho.

- Phân thức đầu tiên:

$\frac{x^{2} - 2xy + y^{2}}{x^{2} - xy + y^{2}}$

Biểu thức ở tử số $x^2 - 2xy + y^2$ có thể viết lại dưới dạng:

$(x - y)^2$

Và biểu thức ở mẫu số $x^2 - xy + y^2$ không thể đơn giản hóa thêm.

Vậy ta có:

$\frac{(x - y)^2}{x^2 - xy + y^2}$

Tiếp theo là phân thức thứ hai:

$\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} - y^{2}}$

Ta biết rằng $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ và $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Do đó, ta có:

$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x + y)} = \frac{x^2 - xy + y^2}{x - y}$

Giờ ta có hai phân thức:

$\frac{(x - y)^2}{x^2 - xy + y^2} * \frac{x^2 - xy + y^2}{x - y}$

Từ đó rút gọn, ta sẽ được:

$\frac{(x - y)^2}{1} * \frac{1}{x - y} = (x - y)$

Vậy, kết quả cuối cùng của câu a là:

x - y

b) Đối với câu b, ta bắt đầu đơn giản hóa các phân thức.

Phân thức đầu tiên:

$\frac{a^{2} + ab}{b - a}$

Ta có thể tách tử số ra như sau:

$a(a + b)/(b - a)$

Phân thức thứ hai:

$\frac{a + b}{2a^{2} - 2b^{2}}$

Ta có thể sử dụng hằng đẳng thức $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, do đó:

$2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a - b)(a + b)$

Ta có:

$\frac{a + b}{2(a - b)(a + b)} = \frac{1}{2(a - b)}$

Vậy, biểu thức cần tính là:

$\frac{a(a + b)}{b - a} : \frac{1}{2(a - b)}$

Thay dấu ":" bằng phép nhân và đảo ngược phân thức:

$a(a + b) * \frac{1}{2(a - b)}$

Điều này trở thành:

$\frac{a(a + b)}{2(a - b)}$

Vậy, kết quả cuối cùng của câu b là:

$\frac{a(a + b)}{2(a - b)}$

c) Đối với câu c, ta tiến hành thực hiện các phép tính trong ngoặc.

Đầu tiên là:

$(\frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{2x - 1}{2x + 1})$

Chúng ta cần quy đồng hai phân thức này.

Mẫu số chung là $(2x - 1)(2x + 1)$

Vậy:

$\frac{(2x + 1)(2x + 1) - (2x - 1)(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)}$

Tính tử số. Ta nhận được:

$(2x + 1)^2 - (2x - 1)^2$

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương:

$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$

Ta có:

$\left((2x + 1) - (2x - 1)\right)\left((2x + 1) + (2x - 1)\right) = (2)(4x) = 8x$

Vậy, khi đưa vào phân thức, ta có:

$\frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)}$

Giờ chúng ta có:

$(\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}) : \frac{4x}{10x - 5}$

Điều này có thể được chuyển đổi thành phép nhân:

$\frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)} * \frac{10x - 5}{4x}$

Phân tích $10x - 5 = 5(2x - 1)$, ta thay vào phân thức:

$\frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)} * \frac{5(2x - 1)}{4x}$

Khi rút gọn, ta nhận được:

$\frac{8 \cdot 5}{4(2x + 1)} = \frac{10}{(2x + 1)}$

Vậy, kết quả cuối cùng của câu c là:

$\frac{10}{(2x + 1)}$