Làm bài hình sau:  Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), D là trung điểm của BC. Kẻ DM vuông góc với AC tại M và DN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật. b) Từ A kẻ đường thẳng d

a) Để chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng bốn góc của tứ giác này đều là 90 độ.

1. Xác định các góc: Chúng ta có tứ giác AMDN, trong đó AM vuông góc với DM (theo định nghĩa) và AN vuông góc với DN (cũng theo định nghĩa). Vậy AM và AN đều vuông góc với AC, nên góc AMN = 90 độ và góc AND = 90 độ.

2. Cạnh đối song song: Vì D là trung điểm của BC và ĐM, DN đều vuông góc với AC, nên các cạnh AD và MN cũng sẽ song song với nhau và có cùng độ dài. Vậy AM || DN và AN || DM.

Do đó, mọi góc ở đỉnh M và N đều bằng 90 độ, và bốn cạnh đối nhau song song, vậy AMDN chính là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh tứ giác ADCE là hình thoi, ta chứng minh rằng AD = DC và AE = CD.

- AD và DC: D là trung điểm của BC nên BD = DC. Trong tam giác vuông ABC, ta có AD là một cạnh của tam giác, và với việc kẻ đường thẳng d // BC tại A, thì AE sẽ cắt DM tại E. Do đó, AE sẽ có tính chất giống như DC mà không thay đổi chiều dài, nên ta có AD = DC.

- AE và CD: Thêm vào đó, vì AD // BC và d // BC, nên AE sẽ song song với DC. Từ đó, ta xác định được rằng AE = CD vì các đoạn thẳng này nằm trên 2 cạnh song song. Trong cùng một tứ giác với hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, ta có tứ giác ADCE là hình thoi.

c) Để chứng minh EH vuông góc với AD, ta sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng và các tính chất vuông góc giữa các đường thẳng.

1. Tìm điểm I: Điểm I là giao điểm của AD và MN. Do đó, I nằm ở trên đường thẳng AD và MN.

2. Xét điểm K: Ta chọn điểm K sao cho AI = IK, vậy K nằm trên AE và cách đều lại I.

3. Xét giao điểm H: Giao điểm DK cắt AC tại H. Bây giờ, cần chứng minh EH vuông góc với AD.

Vì AD và MN đều có quy luật song song theo tính chất của hình thoi (do AE || DC), và khi ta kéo dài DK cắt AC, tạo thành góc vuông với các cạnh đối diện. Hơn nữa với AI = IK, thì chiều dài AH = KH, tạo thành 2 tam giác vuông giống nhau về tất cả các tính chất.

Từ tất cả các lý điểm trên, ta có thể kết luận rằng EH vuông góc với AD.