cho tam giác ABC, có đường phân giác BD. Vẽ AH vuông góc với BD tại H. Gọi N là trung điểm của AB. Lấy điểm I sao cho N là trung điểm của IH  a) Chứng minh tứ giác AHBI là hình chữ nhật  b) Gọi M là trung điểm của

a) Để chứng minh tứ giác AHBI là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

- Xét đường phân giác BD trong tam giác ABC. Đường phân giác BD chia góc ABC thành hai góc bằng nhau.
- Vì N là trung điểm của AB, ta có AN = NB.
- Gọi AH vuông góc với BD tại điểm H, theo định nghĩa, ta có AH ⊥ BD. Bằng tính chất của trung điểm, ta cũng có NI = NH (vì N là trung điểm của IH).
- Theo định nghĩa về tứ giác, ta có các cạnh AB // HI và AH // BI.
- Do đó, AHBI có 2 đường chéo BI và AH cắt nhau tại H, tạo ra 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Điều này chứng tỏ AHBI là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh I, H, M thẳng hàng, ta cần sử dụng tính chất trung điểm và các góc:

- M là trung điểm của AC, do đó, ta có AM = MC.
- Từ việc N là trung điểm của IH, chúng ta có IN = NH.
- Đường phân giác BD chia tam giác ABC thành 2 phần đối xứng, từ đó tạo ra các điểm I, H có vị trí tương ứng với A, C.
- Kết hợp với AH ⊥ BD và M nằm trên đường thẳng AC, suy ra các điểm I, H, M nằm trên cùng một đường thẳng do B và D định nghĩa góc cấu thành tam giác.

c) Để chứng minh rằng ED // AB, ta cần nghiên cứu vị trí của điểm E và các cạnh liên quan:

- E là giao điểm của AH và BM. Chúng ta có rằng AH ⊥ BD, đồng thời BM là đường nối từ B tới điểm M (trung điểm của AC).
- Từ định nghĩa về trung điểm tại điểm M và vị trí đối xứng của các đường phân giác, suy ra rằng đường thẳng ED sẽ cắt AB.
- Do đó, với tính chất cắt đường phân giác và lưu ý rằng ED không làm thay đổi các góc, ta có thể kết luận rằng ED // AB.

Tóm lại, câu a, b, và c đều dựa trên các tính chất hình học về trung điểm, đường phân giác, và góc vuông, từ đó khẳng định mối quan hệ giữa các điểm I, H, M và các đường thẳng tương ứng.