cho tam giác abc với đường trung tuyến bm . Tia phân giác BMA cắt AB tại P tia phân giác của góc BMC cắt CB tại Q. chứng minh PQ//AC

Để chứng minh rằng PQ // AC, ta sẽ sử dụng định lý tam giác và một số tính chất của phân giác và trung tuyến.

1. Giả thiết: Cho tam giác ABC với BM là đường trung tuyến. Gọi P là giao điểm của tia phân giác BMA với cạnh AB, và Q là giao điểm của tia phân giác BMC với cạnh CB.

2. Tính chất của trung tuyến: Vì BM là trung tuyến, nên \( AM = MC \).

3. Tính chất của phân giác: Theo định nghĩa, tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau. Vậy có:
- Tia phân giác BMA chia góc ABM thành hai góc bằng nhau, tức là \( \angle ABP = \angle MBP \).
- Tia phân giác BMC chia góc CBM thành hai góc bằng nhau, tức là \( \angle CBQ = \angle MBQ \).

4. Áp dụng định lý về phân giác (phân giác góc trong tam giác chia cạnh đối diện theo tỉ lệ):
- Với phân giác BMA: Từ định lý phân giác, ta có:
\[ \frac{AP}{PB} = \frac{AM}{BM} \]
- Với phân giác BMC: Từ định lý phân giác, ta có:
\[ \frac{CQ}{QB} = \frac{CM}{BM} \]

5. Sử dụng tỉ lệ: Vì BM là trung tuyến, nên \( AM = MC \), dẫn đến:
\[ \frac{AM}{BM} = \frac{MC}{BM} \]
Do đó,
\[ \frac{AP}{PB} = \frac{CQ}{QB} \]
Điều này có nghĩa là tỉ lệ giữa các đoạn thẳng AP với PB và CQ với QB là bằng nhau.

6. Kết luận: Theo tiêu đề tuyệt đối trong hình học, nếu hai đoạn thẳng phân chia các cạnh của tam giác theo cùng một tỉ lệ, thì hai đoạn thẳng đó là song song với nhau. Vậy từ đó suy ra rằng:
\[ PQ // AC \]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng PQ song song với AC.