Cho tam giác ABC gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AC , BC . Gọi I là giao điểm của AP với MN . Chứng minh  AI = AP , IM = IN

Để chứng minh hai điều thỏa mãn là AI = AP và IM = IN, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của hình học, đặc biệt là tam giác và các điểm trung tuyến.

1. Đầu tiên, chúng ta có tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Theo định nghĩa, ta có:
- AM = MB
- AN = NC
- BP = PC

2. Kẻ đường thẳng AP, điểm I là giao điểm của AP với MN. Chúng ta cần chứng minh AI = AP. Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và đồng dạng.

3. Xét tam giác ABM và tam giác ACM:
- M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Hai tam giác này có chung cạnh AM và cạnh MB = MN. Do đó, suy ra từ tính chất tam giác, ta có:
- Tan tỷ lệ của các cạnh: AB / AC = AI / AP (đồng dạng).

4. Tiếp theo, để chứng minh IM = IN, ta cũng sử dụng tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác. Theo định nghĩa, I nằm trên đường thẳng MN, do đó:
- IM + IN = MN.
- M và N là trung điểm, vậy MN cũng là đường thẳng chia đều các đoạn thẳng này.

5. Vì điểm I nằm trên đường MN nên đoạn I sẽ chia đoạn MN thành hai đoạn IM và IN sao cho độ dài của chúng tương đối bằng nhau. Khi M và N là các trung điểm của các cạnh, ta có thể kết luận rằng IM = IN.

Từ những lập luận trên, ta có thể kết luận được hai điều cần chứng minh là AI = AP và IM = IN.