giusp minh voiii huh

a. Để tính tọa độ vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{MN} \), trước tiên ta cần xác định tọa độ của các điểm M và N.

Điểm M có tọa độ \( M(2; -4) \), điểm N có tọa độ \( N(1; -2) \).

Vectơ \( \overrightarrow{MN} \) được tính như sau:

\[
\overrightarrow{MN} = N - M = (1 - 2; -2 + 4) = (-1; 2)
\]

Tiếp theo, ta có vectơ \( \overrightarrow{u} = 2 \vec{i} - \vec{j} \) trong tọa độ đại số ứng với \( (2; -1) \).

Giờ ta sẽ tính:

\[
\overrightarrow{u} + \overrightarrow{MN} = (2; -1) + (-1; 2) = (2 - 1; -1 + 2) = (1; 1)
\]

Vậy tọa độ của \( \overrightarrow{MN} \) là (-1; 2) và \( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{MN} \) là (1; 1).

b. Để chứng minh 3 điểm O, M, N thẳng hàng, ta cần xem xét các vectơ liên quan. Gọi O là gốc tọa độ với tọa độ O(0; 0).

Để 3 điểm O, M, N thẳng hàng, ta tính định thức của ma trận gồm tọa độ của O, M, N:

\[
D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
1 & -4 & 1 \\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

D = 1 ( -4 - (-2) ) - 2 ( 1 - 1 ) + 1 ( 10 - 0*1 ) = -4 + 2 = -2.

Vì \( D \neq 0 \), nên ba điểm O, M và N không thẳng hàng. Ta cần thấy rằng họ không nằm trên cùng một đường thẳng khi xét định thức khác không.

Vậy chứng minh O, M, N không thẳng hàng và ta đã hoàn thành câu b.