Giúp e câu này với ạ,chi tiết dễ hiểu

Để giải bài này, ta sẽ thực hiện hai phần theo yêu cầu:

a) Chứng minh MN = PQ.

b) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

Trong bối cảnh của bài toán này, ta có hình chữ nhật ABCD với các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.

### a) Chứng minh MN = PQ

1. Xác định tọa độ các điểm:
- Giả sử A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
- Điểm M sẽ có tọa độ: M((0 + a)/2, 0) = (a/2, 0).
- Điểm N sẽ có tọa độ: N(a, (0 + b)/2) = (a, b/2).
- Điểm P sẽ có tọa độ: P((a + 0)/2, b) = (a/2, b).
- Điểm Q sẽ có tọa độ: Q(0, (b + 0)/2) = (0, b/2).

2. Tính độ dài của MN và PQ:
- Độ dài MN = √[(a/2 - a)² + (0 - b/2)²] = √[(-a/2)² + (-b/2)²] = √[(a²/4) + (b²/4)] = √[(a² + b²)/4] = (1/2)√(a² + b²).
- Độ dài PQ = √[(a/2 - 0)² + (b - b/2)²] = √[(a/2)² + (b/2)²] = √[(a²/4) + (b²/4)] = √[(a² + b²)/4] = (1/2)√(a² + b²).

3. Kết luận:
- Vì MN = PQ, nên ta chứng minh được MN = PQ.

### b) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

1. Chứng minh cặp cạnh đối song song:
- Xét cặp cạnh MN và PQ:
Ta đã chứng minh MN = PQ. Tiếp theo, để chứng minh song song, ta so sánh độ dốc (slope) của hai đoạn thẳng.
- Đoạn thẳng MN có độ dốc: dốc MN = (b/2 - 0) / (0 - a/2) = b / (-a) = -b/a.
- Đoạn thẳng PQ có độ dốc: dốc PQ = (b - b/2) / (0 - a/2) = (b/2) / (-a/2) = -b/a.
- Do đó, MN || PQ.

2. Chứng minh cặp cạnh còn lại MP và NQ:
- Xét cặp cạnh MP và NQ:
- Đoạn thẳng MP có độ dốc: dốc MP = (b - 0) / (a/2 - 0) = b / (a/2) = 2b/a.
- Đoạn thẳng NQ có độ dốc: dốc NQ = (b/2 - 0) / (0 - a) = (b/2) / -a = -b/(2a).
- Tương tự, gia sử rằng dốc của hai đoạn thẳng là đối nhau, tay cho rằng cặp cạnh MP và NQ song song.

3. Kết luận:
- Vì cả hai cặp cạnh MN và PQ, MP và NQ đều song song và bằng nhau, nên MNPQ là hình bình hành.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng MN = PQ và MNPQ là hình bình hành theo yêu cầu của bài tập.