Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn., AB<AC. Lấy I là trung điểm của BC trên tia đối của IA lấy điểm D sao cho IA = ID.  a, chứng minh ∆ABC = ∆ DIB b, Kẻ AH vuông góc BC tại H ,DKvuông góc BC tại K. C/m AH=DK c,

a. Để chứng minh ∆ABC = ∆DIB, ta sẽ xem xét các yếu tố liên quan đến các tam giác này.

- Từ giả thiết, ta có AB < AC, và do đó, góc B nhỏ hơn góc C. Điều này có nghĩa là tam giác ABC là một tam giác nhọn.
- I là trung điểm của BC, có nghĩa là BI = CI.
- Lấy điểm D trên tia đối của IA sao cho IA = ID. Điều này đồng nghĩa với việc D là hình chiếu của I qua A vào phía bên kia.
- Ta có AI = ID (theo điều kiện đề bài), suy ra các độ dài từ A tới I và từ I tới D là bằng nhau.

Xét các góc trong hai tam giác, ta có:

- Góc AIB = góc AID (vì độ dài AI = ID), nên hai góc này bằng nhau.
- Góc ABI = góc DIB (bởi vì đoạn I là trung điểm, và tam giác ABC là tam giác nhọn).

Từ các thông tin trên, kết luận rằng ∆ABC = ∆DIB do có:

1. AI = ID
2. BI = CI
3. Góc AIB = góc AID.
4. Góc ABI = góc DIB.

Do đó, ∆ABC và ∆DIB là hai tam giác đồng dạng và có cùng diện tích.

b. Kẻ AH vuông góc với BC, uốn máy tại H. Kẻ DK vuông góc với BC tại K.

Để chứng minh rằng AH = DK, ta sử dụng tính chất của tam giác đều.

- Cả hai tam giác đều ABC và DIB đều có cùng chiều cao từ A và D, tương ứng tới cạnh BC.
- Từ điều này, ta có thể lập luận rằng chiều cao từ A xuống BC (AH) và từ D xuống BC (DK) phải bằng nhau vì hai tam giác này đồng dạng và có cùng độ dài đáy (BC không thay đổi).

Vì vậy, AH = DK.

c. Lấy điểm M trên cạnh BD và điểm N trên cạnh AC sao cho BM = CN. Ta cần chứng minh rằng M, I, N thẳng hàng.

- Từ hai tam giác đều DIB và ABC, ta có chúng có cùng diện tích và có cùng tỉ lệ các cạnh.
- Bởi vì I là trung điểm của BC, ta có các đoạn MB và NC tương đương trong phân bố giữa đáy cạnh. Điều này đồng nghĩa với việc nếu đoạn BM = CN, tôi có thể nói rằng đoạn IM song song với đoạn DN.

- Do đó, các điểm M, I và N nằm trên cùng một đường thẳng.

Tóm lại, kết luận rằng M, I, N thẳng hàng dựa vào các tính chất đồng dạng của tam giác và tỷ lệ đoạn thẳng.