Tìm các nguyên hàm sau ∫1/1-cos4x dx ∫(sin²x+cos²3x)dx ∫sinxcos3xdx

Để tìm các nguyên hàm, chúng ta sẽ giải từng phép tích phân một.

1. Tính ∫1/(1 - cos(4x)) dx:

Đầu tiên, ta sử dụng công thức lượng giác để viết lại biểu thức 1 - cos(4x):
1 - cos(4x) = 2sin²(2x)

Vậy ta có:
∫1/(1 - cos(4x)) dx = ∫1 / (2sin²(2x)) dx
= (1/2) ∫csc²(2x) dx

Biết rằng nguyên hàm của csc²(x) là -cot(x), ta tính:
(1/2) ∫csc²(2x) dx = (1/2)(-cot(2x)/(2)) + C = -1/4 cot(2x) + C

Vậy nguyên hàm của biểu thức này là:
-1/4 cot(2x) + C.

2. Tính ∫(sin²x + cos²3x) dx:

Sử dụng định lý Pythagore:
sin²x + cos²x = 1.

Tuy nhiên, tại đây ta có các hàm số khác nhau. Ta sẽ khai thác từng phần một:
∫sin²x dx = (1/2) ∫(1 - cos(2x)) dx
= (1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + C = (1/2)x - (1/4)sin(2x) + C.

Bây giờ ta tính nguyên hàm của cos²(3x):
cos²(3x) = (1/2)(1 + cos(6x)), vì cos²A = (1 + cos(2A))/2.
Do đó:
∫cos²(3x) dx = (1/2) ∫(1 + cos(6x)) dx
= (1/2)(x + (1/6)sin(6x)) + C = (1/2)x + (1/12)sin(6x) + C.

Kết hợp lại, ta được:
∫(sin²x + cos²3x) dx = ∫sin²x dx + ∫cos²(3x) dx = (1/2)x - (1/4)sin(2x) + (1/2)x + (1/12)sin(6x) + C.

Kết thúc nguyên hàm này là:
x - (1/4)sin(2x) + (1/12)sin(6x) + C.

3. Tính ∫sin(x)cos(3x) dx:

Ta có thể sử dụng công thức chuyển đổi sản phẩm thành tổng:
sin(A)cos(B) = 1/2[sin(A + B) + sin(A - B)].
Áp dụng công thức trên với A = x và B = 3x:
sin(x)cos(3x) = 1/2[sin(x + 3x) + sin(x - 3x)] = 1/2[sin(4x) + sin(-2x)] = 1/2[sin(4x) - sin(2x)].

Vậy:
∫sin(x)cos(3x) dx = (1/2) ∫[sin(4x) - sin(2x)] dx
= (1/2)(-1/4 cos(4x) + 1/2 cos(2x)) + C
= -1/8 cos(4x) + 1/4 cos(2x) + C.

Kết quả cuối cùng là:
-1/8 cos(4x) + 1/4 cos(2x) + C.