Cho tam giác OAB vuông tại O, có OA=3,OB=4, Kẻ đường cao OC ứng với cạnh huyền AB. a) Tính độ dài đường cao OC và độ dài đoạn thẳng AC. b) Vẽ đường tròn (O) bán kính OC. Chứng minh AB là tiếp tuyến (O). c) Vẽ đường tròn (B) bán kính

a) Để tính độ dài đường cao OC, trước tiên chúng ta cần tính độ dài cạnh huyền AB của tam giác OAB. Theo định lý Pythagore, ta có:

AB² = OA² + OB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Vậy:

AB = √25 = 5.

Tiếp theo, chúng ta tìm độ dài độ cao OC. Từ công thức tính diện tích của tam giác, có thể sử dụng hai cách tính diện tích:

1. Diện tích tam giác OAB = (1/2) OA OB = (1/2) 3 4 = 6.
2. Diện tích tam giác OAB = (1/2) AB OC.

Đặt OC = h (độ dài đường cao). Ta có:

6 = (1/2) 5 h,
6 = (5/2) * h,
h = (6 * 2) / 5 = 12 / 5 = 2.4.

Vậy độ dài đường cao OC là 2.4.

Để tính đoạn thẳng AC, ta dùng định lý về tỉ số đoạn phân giác trong tam giác vuông. Từ tam giác OAB, ta có:

AC/CB = OA/OB = 3/4.

Gọi AC = x và CB = y. Có 2 điều:

1. x + y = AB = 5.
2. x/y = 3/4.

Phương trình 2 có thể viết lại là y = (4/3)x. Thay vào phương trình 1:

x + (4/3)x = 5,
(7/3)x = 5,
x = 5 * (3/7) = 15/7.

Vậy độ dài đoạn thẳng AC là 15/7.

b) Để chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) bán kính OC, ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ O đến AB bằng OC. Ta biết rằng OC vuông góc với AB và độ dài OC = 2.4. Do đó, đoạn thẳng từ O đến đường thẳng AB chính là chiều cao OC này.

Vì OC là đoạn vuông góc với AB tại C, đây là điều kiện cần thiết để AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) bán kính OC. Nếu khoảng cách từ O đến AB nhỏ hơn OC, hoặc lớn hơn sẽ không thể là tiếp tuyến. Vì vậy, AB chính là tiếp tuyến.

c) Để tiếp tục, ta cần vẽ đường tròn (B) bán kính BC. Ta cũng cần biết chiều dài của BC. Vì tam giác OAB vuông tại O, ta có thể tìm BC bằng công thức Pythagore.

BC² = AB² - AC² = 5² - (15/7)² = 25 - (225/49) = 25 - 4.59183673469 = 20.40816326531, như thế:

BC = √(20.40816326531) ≈ 4.52.

Khi có đường tròn (B), cắt (O) tại O, ta có hai điểm cắt nhau là O và D. Đường thẳng vuông góc với OD tại O sẽ cắt AB tại điểm E.

Để chứng minh BDE là tiếp tuyến của (O), ta cần chứng minh rằng BE vuông góc với bán kính OE. Do B là tâm của đường tròn (B), E là điểm tiếp xúc, tức BE vuông góc với OE.

Tiếp theo, chứng minh tam giác EOB cân. Để điều này nghiệm được, ta phải chứng minh OE = OB. Điều này hoàn toàn đúng vì E là điểm trên AB, cách O một khoảng bằng độ dài OC, mà OB = 4. Tiến hành so sánh để tìm OE.

Bằng cách trên, chúng ta có thể vẽ đường tròn và xác minh các thuộc tính trong bài. Từ đó chứng minh BDE là tiếp tuyến và tam giác EOB vô cùng cân.