PTDTTNT: `S = x(y-z)^3 + y(z-x)^3 + z(x-y)^3`

Để giải bài toán đại số này, ta cần phân tích biểu thức `S = x(y-z)^3 + y(z-x)^3 + z(x-y)^3`.

Bước đầu tiên là sử dụng định nghĩa của các hằng số và các biến trong công thức này. Đầu tiên, cần lưu ý rằng `x`, `y`, và `z` là các số bất kỳ.

Ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng và một số phương pháp như phương pháp thay thế để giải quyết biểu thức này. Trước hết, ta có thể nhận thấy một điều rằng, nếu ta thay đổi vị trí của các biến trong biểu thức, ví dụ như đổi chỗ `x` với `y`, thì sẽ có sự thay đổi trong các thành phần của biểu thức.

Ta cũng có thể xét trường hợp đặc biệt khi mà hai trong ba biến bằng nhau. Ví dụ, khi `x = y`, ta thấy rằng `(y-z)^3` trở thành một hiện tượng đặc biệt và sẽ bằng 0. Tương tự cho các trường hợp `y = z` và `z = x`.

Cách tiếp cận hiệu quả nhất là xét giá trị của biểu thức `S` với các biến khác nhau:

1. Nếu `x = y`, `y = z`, hay `z = x`, thì biểu thức sẽ trở thành 0 vì các thành phần trong ngoặc sẽ bằng 0.

2. Ta có thể thỏa mãn điều kiện này với bất kỳ sự chuyển hoán nào giữa `x`, `y`, `z`. Vì vậy, ta xác định rằng biểu thức này sẽ luôn bằng 0 cho bất kỳ giá trị nào khi hai hoặc nhiều trong số ba biến này bằng nhau.

Bây giờ, xét trường hợp tổng quát hơn bằng cách sử dụng định nghĩa Delta. Ta có thể thấy rằng, nếu tất cả ba biến này khác nhau, thì sẽ có nhiều hệ số tỷ lệ giữa các số đó. Qua phân tích, ta nhận thấy rằng giá trị của S không thay đổi khi đổi chỗ các biến.

Cuối cùng, ta cũng có thể chứng minh rằng `S` luôn bằng 0 cho mọi giá trị của `x`, `y`, và `z` nhờ vào định lý trung bình.

Tóm lại: giá trị của biểu thức `S` luôn bằng 0 cho bất kỳ giá trị nào của biến `x`, `y`, `z`, do sự đối xứng và tính chất của các thành phần trong biểu thức cũng như sự phân bố của các biến.