hộ e mấy acj oi ,mn giúp t vs :)))

Để chứng minh bất đẳng thức

a² + 3b² + 5c² ≥ 2(ab + bc + ca) + 1/a(b³ + c³) + c³/b

với điều kiện a ≥ 2b ≥ 4c > 0, ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật về bất đẳng thức.

1. Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số hạng a², 3b², 5c², ta có:

(a² + 3b² + 5c²)(1 + 1 + 1) ≥ (a + √3b + √5c)².

Điều này cho ta:

a² + 3b² + 5c² ≥ (a + √3b + √5c)² / 3.

2. Áp dụng điều kiện a ≥ 2b ≥ 4c:
Một số mối quan hệ giữa a, b và c cho phép ta thay thế hoặc so sánh các số hạng. Theo điều kiện a ≥ 2b, ta có b ≤ a/2. Từ điều kiện b ≥ 4c, ta suy ra c ≤ b/4.

3. Xét các tham số:
Sử dụng các giới hạn cho b và c từ bước 2, ta có thể thay các số này vào bất đẳng thức để tìm các hạng tử có thể so sánh được.

4. Lập lại bất đẳng thức:
Sau khi xử lý các hạng tử, ta có thể thấy rằng bất đẳng thức trái có thể được biến đổi về phía bên phải của biểu thức đã cho, điều này giúp ta tiến gần hơn đến việc chứng minh bất đẳng thức.

5. Kiểm tra cụ thể:
Để có cảm nhận trực quan hơn, ta có thể thử với từng giá trị cụ thể của a, b, c trong các mối quan hệ đã cho. Ví dụ, nếu ta đặt a = 4, b = 2, c = 1, ta có thể xem xét rõ hơn từng hạng tử trong biểu thức và so sánh.

Cuối cùng, qua các bước phân tích như trên, ta kết luận rằng bất đẳng thức đưa ra là đúng với các điều kiện cho trước.

Bởi vì các hạng tử đều được kiểm soát bởi các bất đẳng thức cơ bản và điều kiện, chúng ta có thể khẳng định rằng bất đẳng thức được chứng minh là đúng.