tìm gtnn của bt: $$Q=frac{(sqrt{x} + 9)^2}{12(sqrt{x} + 3)}$$

Để tìm giá trị nhỏ nhất \( Q \) của biểu thức

\[
Q = \frac{(\sqrt{x} + 9)^2}{12(\sqrt{x} + 3)}
\]

ta sẽ biến đổi và phân tích biểu thức này.

Đầu tiên, ta bỏ đi căn bậc hai bằng cách đặt \( y = \sqrt{x} \). Khi đó, ta có thể viết lại \( Q \) như sau:

\[
Q = \frac{(y + 9)^2}{12(y + 3)}
\]

Tiếp theo, ta sẽ khai triển tử số:

\[
Q = \frac{y^2 + 18y + 81}{12(y + 3)}
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( Q \), ta sẽ tính toán đạo hàm của \( Q \) theo \( y \) và tìm các điểm cực trị.

Đạo hàm của \( Q \) được tính theo quy tắc thương:

\[
Q' = \frac{(12(y + 3)(2y + 18) - (y^2 + 18y + 81) \cdot 12)}{(12(y + 3))^2}
\]

Sau đó, ta tìm nghiệm của \( Q' = 0 \). Việc này có thể dẫn đến việc giải phương trình bậc cao. Một cách đơn giản hơn là sử dụng phương pháp thử giá trị hoặc dùng bất đẳng thức.

Ta sẽ xét giá trị của \( Q \) tại một số giá trị của \( y \):

1. Khi \( y = 0 \):
\[
Q(0) = \frac{(0 + 9)^2}{12(0 + 3)} = \frac{81}{36} = \frac{9}{4} = 2.25
\]

2. Khi \( y = 3 \):
\[
Q(3) = \frac{(3 + 9)^2}{12(3 + 3)} = \frac{12^2}{12 \times 6} = \frac{144}{72} = 2
\]

3. Khi \( y = 6 \):
\[
Q(6) = \frac{(6 + 9)^2}{12(6 + 3)} = \frac{15^2}{12 \times 9} = \frac{225}{108} = 2.08
\]

Ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất tại \( y = 3 \) là \( Q(3) = 2 \).

Cuối cùng, để xác định các khoảng giá trị, ta có thể thấy rằng \( \sqrt{x} \geq 0 \) (do \( x \) là số không âm), dẫn đến \( Q \) có thể giảm đến một mức nhất định nhưng không nghịch đảo. Với các giá trị thử nghiệm ở trên, giá trị nhỏ nhất mà ta tìm thấy là tại \( y = 3 \).

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( Q \) là

\[
\boxed{2}
\]