Làm hộ mình câu 2: đè bài là chứng minh biểu thức đó chia hết

Để chứng minh biểu thức A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^120 chia hết cho 3, 7 và 15, ta thực hiện như sau:

Trước tiên, ta nhận thấy rằng A là một chuỗi số hình học. Công thức tổng của chuỗi số hình học có dạng:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Trong đó, a là số hạng đầu, r là công bội và n là số hạng. Ở đây:
- a = 2 (số hạng đầu)
- r = 2 (công bội)
- n = 120 (số hạng thứ 120 là 2^120)

Áp dụng công thức, ta có:

A = 2 (1 - 2^120) / (1 - 2) = 2 (1 - 2^120) / (-1) = 2^121 - 2

Bây giờ, ta tiến hành kiểm tra tính chia hết của A cho các số 3, 7 và 15.

1. Kiểm tra chia hết cho 3:
2^1 = 2 mod 3
2^2 = 1 mod 3
2^3 = 2 mod 3
2^4 = 1 mod 3
Ta nhận thấy rằng 2^n mod 3 có chu kỳ 2, cụ thể:
- Nếu n chẵn thì 2^n ≡ 1 (mod 3)
- Nếu n lẻ thì 2^n ≡ 2 (mod 3)

Do đó:
- 2^120 ≡ 1 (mod 3)
Vậy A = 2^121 - 2 ≡ 2 - 2 ≡ 0 (mod 3). Vậy A chia hết cho 3.

2. Kiểm tra chia hết cho 7:
Tính giá trị 2^n mod 7, ta có chu kỳ 3:
- 2^1 ≡ 2 (mod 7)
- 2^2 ≡ 4 (mod 7)
- 2^3 ≡ 1 (mod 7)
Vậy:
- Nếu n ≡ 0 (mod 3) thì 2^n ≡ 1 (mod 7)
- Nếu n ≡ 1 (mod 3) thì 2^n ≡ 2 (mod 7)
- Nếu n ≡ 2 (mod 3) thì 2^n ≡ 4 (mod 7)

Do đó:
- 120 mod 3 = 0 → 2^120 ≡ 1 (mod 7)
Vậy A = 2^121 - 2 ≡ 2 - 2 ≡ 0 (mod 7). Vậy A chia hết cho 7.

3. Kiểm tra chia hết cho 15:
Vì 15 = 3 * 5, nên A phải chia hết cho cả 3 và 5.
Ta đã chứng minh A chia hết cho 3. Tiếp theo, kiểm tra A chia hết cho 5:
Tính giá trị 2^n mod 5, ta có chu kỳ 4:
- 2^1 ≡ 2 (mod 5)
- 2^2 ≡ 4 (mod 5)
- 2^3 ≡ 3 (mod 5)
- 2^4 ≡ 1 (mod 5)

120 mod 4 = 0 → 2^120 ≡ 1 (mod 5).
Vậy A = 2^121 - 2 ≡ 2 - 2 ≡ 0 (mod 5). Vậy A chia hết cho 5.

Cuối cùng, do A chia hết cho cả 3, 7 và 5, nên A cũng chia hết cho 15.

Kết luận: Biểu thức A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^120 chia hết cho 3, 7 và 15.