Tìm `x,y` biết : `9x^2+4y^2+4y-12x+5=0`

Để tìm các giá trị của `x` và `y` trong phương trình `9x^2 + 4y^2 + 4y - 12x + 5 = 0`, ta có thể sắp xếp lại phương trình và nhóm các hạng tử liên quan lại với nhau.

Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử theo biến `x` và `y`:

`9x^2 - 12x + 4y^2 + 4y + 5 = 0`

Bây giờ, ta sẽ hoàn thành bình phương với biến `x` và `y`.

Bước 1: Hoàn thành bình phương với biến `x`:

Đối với các hạng tử `9x^2 - 12x`, ta có thể viết lại như sau:

`9(x^2 - \frac{12}{9}x) = 9(x^2 - \frac{4}{3}x)`

Để hoàn thành bình phương, ta cần thêm và bớt một hạng tử. Hạng tử cần thêm vào là:

`(\frac{4}{6})^2 = \frac{4}{9}`

Vậy ta có:

`9\left(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{36} - \frac{4}{36}\right) = 9\left((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{36}\right)`

Phép biến đổi trên cho ta:

`9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - 1`

Bước 2: Hoàn thành bình phương với biến `y`:

Đối với các hạng tử `4y^2 + 4y`, ta có thể viết lại như sau:

`4(y^2 + y)`

Để hoàn thành bình phương, ta cần thêm và bớt hạng tử:

`(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}`

Vậy ta có:

`4(y^2 + y + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 4\left((y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right)`

Phép biến đổi trên cho ta:

`4\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - 1`

Bước 3: Thay các kết quả đã hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu:

Ta kết hợp lại các hạng tử đã biến đổi vào phương trình:

`9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 + 4\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + 5 = 0`

Đơn giản hóa phương trình:

`9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + 3 = 0`

Tại đây, ta thấy rằng `9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2` và `4\left(y + \frac{1}{2}\right)^2` đều là các hạng tử không âm (không thể nhỏ hơn 0), trong khi hạng tử `3` là dương. Do đó, tổng của các hạng tử này không bao giờ có thể bằng 0.

Vì vậy, phương trình `9x^2 + 4y^2 + 4y - 12x + 5 = 0` không có nghiệm thực cho `x` và `y`.