Cho biểu thức A = $dfrac{1}{x - 1}$ + $dfrac{2}{x + 1}$ - $dfrac{x - 3}{x² - 1}$ a, Tìm điều kiện xác định của biểu thức A b, Chứng minh A = $dfrac{2}{x - 1}$

a. Để tìm điều kiện xác định của biểu thức A, chúng ta cần xác định giá trị của x mà tại đó A không có nghĩa, tức là các mẫu phải khác 0.

Biểu thức A có các phần như sau trong tử số và mẫu số:

1. $\dfrac{1}{x - 1}$: Mẫu số là x - 1. Nó không có nghĩa khi x = 1.
2. $\dfrac{2}{x + 1}$: Mẫu số là x + 1. Nó không có nghĩa khi x = -1.
3. - $\dfrac{x - 3}{x² - 1}$: Ở đây, mẫu số là x² - 1 = (x - 1)(x + 1). Mẫu số này không có nghĩa khi x = 1 hoặc x = -1.

Kết hợp lại, biểu thức A không có nghĩa khi:
- x = 1 (mẫu số đầu và mẫu số thứ ba)
- x = -1 (mẫu số thứ hai và mẫu số thứ ba)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là: x ≠ 1 và x ≠ -1.

b. Chứng minh A = $\dfrac{2}{x - 1}$

Đầu tiên, ta phân tích biểu thức A:

A = $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{x - 3}{x² - 1}$

Biểu thức $x² - 1$ có thể viết lại thành $(x - 1)(x + 1)$. Do đó, $\dfrac{x - 3}{x² - 1}$ có thể viết là:
$$\dfrac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)}$$

Ta tiến hành tính A lại:

A = $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)}$

Ta cần đưa tất cả các thành phần về cùng mẫu số chung. Mẫu số chung là $(x - 1)(x + 1)$. Chúng ta có thể viết:

$$\dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$$
$$\dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$$

Sau đó, thay vào A:

A = $\dfrac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \dfrac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \dfrac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)}$

Tất cả các thành phần giờ đây đều có chung mẫu số là $(x - 1)(x + 1)$, vì vậy ta có thể kết hợp các tử số lại:

A = $\dfrac{(x + 1) + 2(x - 1) - (x - 3)}{(x - 1)(x + 1)}$

Bây giờ, ta tính tử số:

1. Tử số tính ra:
- (x + 1) + 2(x - 1) - (x - 3)
- = x + 1 + 2x - 2 - x + 3
- = (x + 2x - x) + (1 - 2 + 3)
- = 2x + 2
- = 2(x + 1)

Vì vậy, A trở thành:

A = $\dfrac{2(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$

Rút gọn lên:

A = $\dfrac{2}{x - 1}$

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng A = $\dfrac{2}{x - 1}$.