Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Trên cạnh BC lấy D sao cho BD=BA. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại B a) CMR: BE là tia phân giác góc ABC b) Kéo dài DE cắt AB tại F. CMR: AF=CD c) Gọi M là trung

a) Để chứng minh BE là tia phân giác của góc ABC, trước tiên ta sẽ chứng minh rằng tỉ số của hai đoạn AB và AC bằng với tỉ số của hai đoạn BD và DC.

Từ giả thiết, trong tam giác vuông ABC, chúng ta có AB < AC. Khi đó, chúng ta có:

- Tính độ dài BD = BA.
- Cũng từ định nghĩa của điểm D, tứ giác ABDD' (D' là hình chiếu của D trên AC) có các cạnh AD, AB là hai cạnh mà chúng ta đang xét. Vì ABDD' là hình vuông với A, D, và B thẳng hàng, và các đường vuông góc từ D tới BC cắt AC tại E.

Trong tam giác vuông ABD, ta có góc ADB = 90 độ nên ta có thể áp dụng định lý sinus để thu được tỉ lệ như sau:
AB / AC = BD / DC.

Do BD = BA, nên ta có:
AB / AC = AB / DC.

Điều này chứng tỏ rằng BE là tia phân giác của góc ABC.

b) Kéo dài DE cắt AB tại F, ta sẽ chứng minh rằng AF = CD.

Tại điểm D, từ giả thiết BD = BA và DE vuông góc với BC, chúng ta thấy được rằng tam giác BDC là tam giác vuông tại D với các cạnh BD = BA và cạnh CD sẽ bằng với cạnh thẳng DE. Từ đó, các tỉ số trong tam giác BDC và ABD sẽ đồng nhất.

Theo định lý Pythagore trong tam giác BDC và ABD, ta có:
AF = BD và CD.

Nên chúng ta có thể kết luận:
AF = CD.

c) Gọi M là trung điểm của CF, chúng ta cần chứng minh rằng E, B, M thẳng hàng.

Vì BE là tia phân giác, ta biết rằng góc ABE và góc CBE sẽ bằng nhau. Do đó, nếu chúng ta xét hai tam giác CBF và FBE, M là trung điểm của CF cho nên BM = MF. Từ đó:

- Tam giác BMF và tam giác BEF có tỉ lệ về cạnh.
- Để chứng minh rằng B, E, M thẳng hàng, ta sử dụng định lý giữa: nếu E là trung điểm của BC thì các điểm sẽ thẳng hàng khi đó.

Vì BE là tia phân giác và M là trung điểm của CF, ta kết luận rằng E, B và M là ba điểm thẳng hàng.

Vậy ba câu hỏi đã được chứng minh.