Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, BC,CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F,G, H sạocho AE = BF = CG = DH.a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.b) Lấy M là một điểm tuỳ ý trên cạnh EG (M khác E,G). Gọi I,J lần lượt

a) Để chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có bốn cạnh bằng nhau và có hai góc vuông.

1. Ta có AE = BF = CG = DH = x (giả sử).
2. Do hình vuông ABCD có các cạnh bằng nhau, ta có:
- AB = BC = CD = DA = a.

3. Từ đó, ta có:
- EF = AB - AE - BF = a - x - x = a - 2x.
- FG = BC - BF - CG = a - x - x = a - 2x.
- GH = CD - CG - DH = a - x - x = a - 2x.
- HE = DA - DH - AE = a - x - x = a - 2x.

4. Như vậy, EF = FG = GH = HE = a - 2x.

5. Tiếp theo, ta chứng minh hai góc tại các đỉnh E, F, G, H là góc vuông:
- Xét góc E:
- Đường thẳng EF vuông góc với AB (vì E, F thuộc AB và EF nằm trong mặt phẳng vuông góc với AB).
- Đường thẳng EH vuông góc với AD.
- Tương tự cho các góc còn lại tại F, G, H.

Vậy EFGH có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông, do đó EFGH là hình vuông.

b) Để chứng minh MIEJ là hình vuông, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chiếu vuông góc.

1. M là một điểm trên cạnh EG, và I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên EF và EH.
2. Do M là điểm bất kỳ trên EG, ta có ME là một đoạn thẳng, đồng thời I nằm trên EF và J nằm trên EH.

3. Vì I và J được xác định bởi hình chiếu vuông góc:
- Góc IME = 90 độ (vì I là hình chiếu vuông góc)
- Góc JME = 90 độ (tương tự cho J)

4. Ta cần chứng minh MI = ME và IJ = JI.
- Xét tam giác IME và tam giác JME: chúng đều có một cạnh chung (ME) và đều có một góc vuông. Nếu MI = ME và IJ = JI, thì theo định nghĩa, MIEJ sẽ là hình vuông.

5. Khi ME và IJ được xác định đồng đều theo chiều dài, nghĩa là MI = IJ, thì tứ giác MIEJ sẽ là hình vuông.

Vậy MIEJ cũng là hình vuông.