Cho tam giác vuông ABC vuông ở A (AB < AC), có đường cao AH. Từ H kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC (E ∈ AB, F ∈ AC) a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Nếu biết AB = 3 cm, BC = 5 cm, BH

a) Để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc AEH và EHF đều vuông và hai cạnh AE và HF song song với nhau.

- Đầu tiên, vì H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC, nên AH vuông góc với BC. Ta có HE ⊥ AB và HF ⊥ AC. Điều này có nghĩa là góc AHE = 90 độ và góc AHF = 90 độ.

- Do HE và HF đều vuông góc với các cạnh của tam giác ABC, nên tứ giác AEHF không chỉ có các góc AEH và AHF đều vuông, mà còn có cạnh đối diện AE song song với HF (AE // HF) bởi vì các góc này đều là góc vuông. Từ đó, tứ giác AEHF có thể xác nhận là hình chữ nhật.

b) Ta có tam giác vuông ABC với AB = 3 cm, BC = 5 cm. Áp dụng định lý Pythagore, chúng ta có:

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 => AC = 5 cm.

H là chân đường cao, và theo công thức tính chiều cao trong tam giác vuông:

AH = AB BC / AC = 3 4 / 5 = 12 / 5 cm = 2,4 cm.

Tiếp theo, ta biết BH = 1,8 cm, do đó AH - BH = HF.

Vậy HF = AH - BH = 2,4 cm - 1,8 cm = 0,6 cm.

c) Gọi O là giao điểm của EF và AH, K là trung điểm của CH.

Ta có tan góc BAH = BH / AH, tan góc CAH = AH / AH từ đó suy ra chúng vuông góc.

Bây giờ, để chứng minh BO ⊥ AK, cần kiểm tra góc BOK và góc AOK.

Khi đó, từ các hệ thức trên cùng với tính vuông góc của các cạnh, ta thấy rằng các đường BO và AK sẽ tạo ra hai tam giác vuông có cạnh kề bằng nhau, và do đó góc BOK = 90 độ.

Điều này chứng tỏ rằng BO ⊥ AK.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài tập một cách hợp lý và chính xác.