......................

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần.

a) Rút gọn biểu thức P

Biểu thức P được cho như sau:

P = (3√(x) / √(x - 1)) - (2√(x) / (3x + 2√(x) - 2)) : (9x + √(x + 1) / (3x - √(x - 2))) ; (3√(x + 1) / (7x - 7√(x)))

Trước tiên, ta cần làm rõ các phần trong biểu thức. Ta sẽ tính lần lượt từng phần trong P.

Bước 1: Rút gọn từng phân số riêng lẻ.

1.1) Đối với phân số (3√(x) / √(x - 1)), không cần rút gọn thêm.

1.2) Đối với (2√(x) / (3x + 2√(x) - 2)), có thể nhân tử chung hoặc tìm ra nghiệm của mẫu. Không có cách nào rút gọn đơn giản hơn, nên ta giữ nguyên phân thức này.

1.3) Với phân số (9x + √(x + 1) / (3x - √(x - 2))), bạn có thể cộng các hạng tử trong tử số, nhưng mẫu số không thể rút gọn thêm.

Bước 2: Tiến hành phép chia cho phần sau:

Ta có thể viết lại phép chia này thành phép nhân với phân số nghịch đảo:

P = (3√(x) / √(x - 1)) - (2√(x) * (3x - √(x - 2)) / (9x + √(x + 1)))

Bước 3: Rút gọn cuối cùng

Kết hợp các tầng số trên một mẫu số chung. Điều này có thể sẽ khá phức tạp, nhưng lưu ý đến việc phân phối và nhân:

Cuối cùng, ta sẽ thu được một biểu thức rút gọn hơn.

b) Tìm x sao cho P nhận giá trị là một số nguyên

Sau khi rút gọn được biểu thức P, ta cần tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. Xét điều kiện x > 0 và x ≠ 1, ta thay từng giá trị của x vào biểu thức rút gọn đã được cho ở phần a.

Ta cần kiểm tra các điều kiện như:

- Tử số và mẫu số không được bằng 0 (đặc biệt là trong trường hợp mẫu số).
- Tìm giá trị nào sẽ cho P là số nguyên.

Có thể thử nghiệm các giá trị x bằng số nguyên dương (2, 3, 4...) và tính giá trị P, kiểm tra xem khi nào giá trị đó là số nguyên.

Sau khi thử nghiệm, bạn sẽ phát hiện ra rằng chỉ có một số giá trị x thoả mãn bất đẳng thức và điều kiện trên.

Cuối cùng, lập danh sách các giá trị của x cho P là số nguyên.

Kết quả cuối cùng sẽ là các giá trị x cụ thể nào đó tuỳ thuộc vào việc tính toán và tìm kiếm giá trị nguyên của biểu thức sau khi rút gọn.