Cănx / cănx+1Tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

Để tìm giá trị nguyên của x sao cho biểu thức căn bậc hai \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}\) nhận giá trị nguyên, ta bắt đầu phân tích biểu thức này.

Biểu thức \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}\) có thể được đơn giản hóa bằng cách nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{x+1}\):

\[
\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+1}}{x+1} = \frac{\sqrt{x(x+1)}}{x+1}
\]

Chúng ta cần điều kiện để biểu thức này là một số nguyên:

1. Tử \(\sqrt{x(x+1)}\) phải chia hết cho mẫu \(x + 1\).
2. Từ \(\sqrt{x(x+1)}\) là một số nguyên, điều này có nghĩa là \(x(x+1)\) phải là một số chính phương.

Ta bắt đầu bằng cách đặt \(x\) là một số nguyên, tức là \(x = n^2\) cho một số nguyên n. Thay vào biểu thức ta có:

\[
\frac{\sqrt{n^2}}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}
\]

Để biểu thức này là một số nguyên, mẫu \(\sqrt{n^2 + 1}\) phải chia hết cho n (khi đó tử là 1). Tuy nhiên, với \(n\) là số nguyên, \(\sqrt{n^2 + 1}\) sẽ không bao giờ là một số nguyên vì nó sẽ tạo ra một hằng số không phải là số chính phương.

Ta xét điều kiện khác là:

\(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{x+1}\) đều cần phải là số nguyên khác, tức là \(x\) là chính phương và \(x + 1\) cũng phải là một số chính phương. Giả sử \(x = m^2\), từ đó \(x + 1 = m^2 + 1\).

Bây giờ, giả sử \(x + 1 = k^2\) cho một số nguyên k. Ta có:
\[
m^2 + 1 = k^2
\]
Điều này dẫn đến:
\[
k^2 - m^2 = 1 \Rightarrow (k-m)(k+m) = 1
\]

Hai khả năng chính là:
1. \(k - m = 1\) và \(k + m = 1\)
2. \(k - m = -1\) và \(k + m = -1\)

Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta chỉ tìm thấy 2 giá trị cụ thể \(x = 0\) và \(x = 3\), từ đó:

- Với \(x = 0\): \(\frac{\sqrt{0}}{\sqrt{1}} = 0\) là số nguyên.
- Với \(x = 3\): \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) là không phải là số nguyên.

Do đó, giá trị x nguyên mà biểu thức \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}\) nhận giá trị nguyên chỉ có \(x = 0\).