Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-1;4), B(1;2). Điểm M (0;a) thuộc trục Oy sao cho biểu thức F = MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. a nằm trong khoảng giá trị bao nhiêu Giải thích các bước giải cụ thể

Để tìm khoảng giá trị của a sao cho biểu thức F = MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất, trước hết chúng ta cần xác định các đoạn thẳng MA và MB.

Điểm M có tọa độ (0; a), điểm A có tọa độ (-1; 4) và điểm B có tọa độ (1; 2). Để tính độ dài của đoạn thẳng MA và MB, chúng ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng Oxy:

MA = √[(x_M - x_A)² + (y_M - y_A)²]
MB = √[(x_M - x_B)² + (y_M - y_B)²]

Với x_M = 0, y_M = a, x_A = -1, y_A = 4, x_B = 1, y_B = 2, ta có:

MA = √[(0 - (-1))² + (a - 4)²] = √[1 + (a - 4)²]
MB = √[(0 - 1)² + (a - 2)²] = √[1 + (a - 2)²]

Từ đó, biểu thức F = MA + MB trở thành:

F = √[1 + (a - 4)²] + √[1 + (a - 2)²]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của F, chúng ta có thể áp dụng Định lý Chebyshev trong hình học, cho rằng điểm M sẽ di chuyển theo trục Oy. Để F đạt giá trị nhỏ nhất, điểm M cần nằm trên đường thẳng nối A và B, và cùng nằm trong khoảng giữa của hai điểm này.

Để tìm phương trình của đường thẳng chứa A và B, ta cần tính hệ số góc (m) và phần b (b) của đường thẳng. Hệ số góc được tính như sau:

m = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (2 - 4) / (1 - (-1)) = -2 / 2 = -1

Sử dụng điểm A để xác định phương trình đường thẳng (y - y_A = m(x - x_A)), từ đó:

y - 4 = -1(x + 1) => y = -x + 3

Vì điểm M nằm trên trục Oy, tọa độ M sẽ có dạng (0; a), thay x bằng 0:

a = -0 + 3 => a = 3.

Chúng ta cũng cần kiểm tra xem a có nằm trong khoảng giá trị nào không. Các điểm A và B có tọa độ lần lượt là A(-1; 4) và B(1; 2), vì vậy:

- Điểm A trên trục Oy có y = 4
- Điểm B trên trục Oy có y = 2

Do đó, khi M di chuyển từ điểm A đến B, giá trị của a có thể nằm giữa 2 giá trị y này, tức là:

2 ≤ a ≤ 4.

Tóm lại, khoảng giá trị của a sao cho biểu thức F = MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất là [2, 4].