chứng minh abcd chia hết cho 99 ⟺ ab + cd chia hết cho 99

Chúng ta cần chứng minh rằng \( abcd \) chia hết cho 99 nếu và chỉ nếu \( ab + cd \) chia hết cho 99. Để làm điều này, ta sẽ phân tích và sử dụng tính chất của số chia hết cho 99.

Đầu tiên, ta biết rằng \( 99 = 9 \times 11 \). Vậy ta sẽ chứng minh bài toán bằng cách kiểm tra điều kiện chia hết cho cả 9 và 11.

Bước 1: Chia hết cho 9

Ta có:

- Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Với số \( abcd \), tổng các chữ số của nó là \( a + b + c + d \). Tương tự, với số \( ab \) và \( cd \):

- Tổng các chữ số của \( ab \) là \( a + b \).
- Tổng các chữ số của \( cd \) là \( c + d \).

Vì vậy:

\( a + b + c + d = (a + b) + (c + d) \).

Nếu \( abcd \) chia hết cho 9, thì \( a + b + c + d \equiv 0 \,(\text{mod} \, 9) \). Điều này có nghĩa là \( (a + b) + (c + d) \equiv 0 \,(\text{mod} \, 9) \), tức là \( ab + cd \) cũng phải chia hết cho 9.

Ngược lại, nếu \( ab + cd \) chia hết cho 9, nghĩa là \( (a + b) + (c + d) \equiv 0 \,(\text{mod} \, 9) \). Từ đó suy ra \( (a + b + c + d) \equiv 0 \,(\text{mod} \, 9) \), do đó \( abcd \) cũng chia hết cho 9.

Bước 2: Chia hết cho 11

Ta biết rằng một số chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí chẵn và lẻ chia hết cho 11.

Áp dụng vào các số \( abcd \):

- Tổng các chữ số ở vị trí lẻ là \( a + c \).
- Tổng các chữ số ở vị trí chẵn là \( b + d \).

Hiệu giữa chúng là \( (a + c) - (b + d) = a + c - b - d \).

Chúng ta có:

- Nếu \( abcd \) chia hết cho 11, thì \( |(a + c) - (b + d)| \equiv 0 \,(\text{mod} \, 11) \).
- Nếu \( ab + cd \) chia hết cho 11, ta cũng có \( (a + b) + (c + d) \) nên phải kiểm tra hiệu giữa chúng.

Từ điều kiện chia hết cho 9 và 11, ta kết luận rằng:

- Nếu \( abcd \equiv 0 \,(\text{mod} \, 99) \) thì \( ab + cd \equiv 0 \,(\text{mod} \, 99) \).
- Ngược lại, nếu \( ab + cd \equiv 0 \,(\text{mod} \, 99) \), thì \( abcd \equiv 0 \,(\text{mod} \, 99) \).

Kết luận, ta đã chứng minh rằng \( abcd \) chia hết cho 99 nếu và chỉ nếu \( ab + cd \) chia hết cho 99.