Bài 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi E là trung điểm của BC. Từ E kẻ EK//AB, EM//AC (M thuộc AB, K thuộc AC). a. Chứng minh tứ giác AMEK là hình chữ nhật. b. Tính AE biết AB=3cm, AC = 4cm c. Chứng minh tứ giác MECK

a. Để chứng minh tứ giác AMEK là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh AM và EK song song, đồng thời các cạnh AE và MK cũng song song.

- Do EK // AB và AB là một cạnh của tam giác vuông ABC, nên góc EKA = góc A.
- Từ đó suy ra rằng AM tạo với tường vát AE 1 góc vuông (góc A).

- Tương tự, EM // AC nên góc EAM = góc C.
- Do đó, các cạnh AE và MK cũng tạo với tường vát AM 1 góc vuông (góc M).

Như vậy, ta có hai cặp cạnh đối diện (AM và EK, AE và MK) đều song song và vuông góc với nhau, chứng tỏ rằng tứ giác AMEK là hình chữ nhật.

b. Để tính AE, trước hết ta cần biết chiều dài của các cạnh AB và AC của tam giác vuông ABC. Theo giả thiết, AB = 3 cm, AC = 4 cm.

Ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài của cạnh BC:
BC = √(AB^2 + AC^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.

Do E là trung điểm của BC, nên ta có:
BE = EC = 5 cm / 2 = 2.5 cm.

Sau đó, ta sẽ tính AE bằng cách nhận thấy tam giác ABE cũng là một tam giác vuông tại A nên:
AE^2 + BE^2 = AB^2
AE^2 + (2.5)^2 = 3^2
AE^2 + 6.25 = 9
AE^2 = 9 - 6.25
AE^2 = 2.75
AE = √2.75 = √(11/4) = √11 / 2 cm.

c. Để chứng minh tứ giác MECK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện ME và CK, EC và MK song song và bằng nhau.

- Vì E là trung điểm của BC nên EC = BE = 2.5 cm.
- Từ EMA = EMK = góc vuông (do EM // AC và đã chứng minh trong phần a), ba điểm E, M, C và K cũng tạo nên các góc vuông nên ba cạnh ME và MK sẽ có chiều dài tương ứng với chiều dài của AB và AC.

Vì thế, ME và CK đều bằng nhau và song song với nhau.
Tương tự, EC và MK cũng bằng nhau và song song với nhau.

Do vậy, tứ giác MECK có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song cho nên tứ giác MECK là hình bình hành.