Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có đường cao BE, CK cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: 4 điểm A, E, H, K thuộc một đường tròn. b) Qua B, kẻ đường thẳng song song với KE cắt AC ở F. Gọi I là trung điểm của BF và D

a) Để chứng minh rằng 4 điểm A, E, H, K thuộc một đường tròn, ta sử dụng tính chất của các góc.

Xét tam giác ABC với đường cao BE từ B đến AC. Khi đó, góc ABE và góc ACE là hai góc phụ nhau, có nghĩa là:

góc ABE + góc ACE = 90°.

Tương tự, trong tam giác AHK:

góc AHK và góc AKH cũng là hai góc phụ nhau và có tổng bằng 90°.

Bây giờ ta chứng minh rằng các tam giác ABK và AEK có các góc bằng nhau:

góc ABE = góc AKE (do BE // KE), góc AEC = góc AHB (do đề bài cho là CK cắt BE tại H).

Suy ra, các tam giác ABE và AKE có các góc tương ứng bằng nhau. Từ đó ta có:

góc ABE = góc AKE; góc AEC = góc AHB.

Theo định lý đường tròn được dựng từ 2 góc phụ, ta suy ra rằng 4 điểm A, E, H, K thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh rằng AK.AB = AE.AC và A, H, D thẳng hàng, ta tiến hành như sau:

Đầu tiên, từ điểm B, kẻ đường thẳng song song với KE cắt AC tại điểm F. Theo định nghĩa của điểm I là trung điểm của BF, ta có:

IB = IF.

Khi đó, theo tính chất của đường thẳng song song, ta có:

góc AIB = góc AEF (do BF // KE), và góc ABI = góc AFC (do EF // AB).

Từ đó, ta có thể áp dụng định lý tỷ lệ (Menelaus) cho tam giác AEF và các điểm I, B, C:

AE / EF = AI / ID.

Ta có AE.AC = AK.AB từ định nghĩa của nhiệm vụ gán cho D ở giao điểm của El và BC.

Cuối cùng, bởi vì các điểm A, H, D nằm trên cùng một đường thẳng, ta có thể kết luận rằng A, H, D thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng AK.AB = AE.AC và A, H, D thẳng hàng dựa vào các tính chất hình học và định lý tỷ lệ.