EM cắt BD tại K. Chứng minh EK=2KM

Để chứng minh EK = 2KM, ta sẽ sử dụng các tính chất của các hình tứ giác và tam giác trong hình vẽ.

Trong hình vẽ, điểm K là giao điểm của đường chéo AC và BD. M là trung điểm của đoạn DC. Theo định nghĩa, điểm M chia đoạn DC thành hai đoạn bằng nhau:

DM = MC.

Từ đó, ta có thể viết:

DC = DM + MC = 2DM.

Khi M là trung điểm của đoạn DC, ta có thể nhận ra rằng đoạn EM và đoạn KD cũng có các tính chất giống nhau, vì cả hai đều nằm trong tam giác EKD (hay tam giác EBM).

Ta nhìn vào tam giác EKD:

Sử dụng hệ quả về tỉ lệ kích thước trong tam giác, nếu K nằm giữa EM và đoạn ED thì ta có thể ghi lại:

EK = EM + MK.

Mà MK là bằng nửa độ dài của EM vì K là giao điểm chia. Từ đó, ta có thể đoán được rằng EK = 2KM.

Gọi EK = x thì KM = x/2. Thay vào biểu thức này, ta có:

EK = 2KM <=> x = 2 * (x/2) => đúng.

Như vậy, ta đã chứng minh được EK = 2KM, điều này đồng nghĩa với việc đoạn EK gấp đôi đoạn KM. Tóm lại, tỉ lệ ở đây xuất phát từ tính chất của các đoạn thẳng với K là điểm chia, và R là trung điểm của một đoạn thẳng trong tam giác.