chứng minh rằng `3n+1` và `2n+1` là các số nguyên tố cùng nhau!!! ai nhanh cho hn ạ

Để chứng minh rằng hai số nguyên `3n + 1` và `2n + 1` là các số nguyên tố cùng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng ước số chung lớn nhất của chúng (gọi tắt là ước số chung lớn nhất, hay GCD) bằng 1.

Hai số này phụ thuộc vào tham số n. Đầu tiên, hãy đặt hai số nguyên này là a = 3n + 1 và b = 2n + 1.

Chúng ta sẽ sử dụng định lý Euclid để tìm GCD của a và b. Cụ thể, theo định lý Euclid, GCD(a, b) = GCD(b, a - k*b), với k là một số nguyên.

Tính toán a - k*b, chọn k = 1, ta có:

a - b = (3n + 1) - (2n + 1) = 3n + 1 - 2n - 1 = n.

Vậy, GCD(3n + 1, 2n + 1) = GCD(2n + 1, n).

Chúng ta sẽ tiếp tục áp dụng quy tắc này:

GCD(2n + 1, n) = GCD(n, (2n + 1) - 2*n) = GCD(n, 1).

GCD(n, 1) luôn bằng 1 cho mọi n khác 0, vì 1 là ước số của mọi số nguyên.

Kết luận là GCD(3n + 1, 2n + 1) = 1 với mọi n khác 0, vì vậy 3n + 1 và 2n + 1 là các số nguyên tố cùng nhau.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng `3n + 1` và `2n + 1` là các số nguyên tố cùng nhau với mọi n.