Tìm GTLN cho biểu thức P = $-(x-4)^{2}$ - |x - y + 1| + 8

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \( P = -(x-4)^{2} - |x - y + 1| + 8 \), ta sẽ phân tích từng thành phần của biểu thức.

1. Phân tích thành phần \(-(x - 4)^2\):
- Đây là một hàm bậc hai, có dạng \(-a(x - h)^{2} + k\) với \(a > 0\), nó mở xuống.
- Biểu thức này đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 4\) vì tại điểm này, \((x - 4)^2 = 0\) và do đó \(- (x - 4)^2 = 0\).

2. Phân tích thành phần \(-|x - y + 1|\):
- Hàm giá trị tuyệt đối \(|x - y + 1|\) luôn không âm, tức là \(|x - y + 1| \geq 0\).
- Do đó, \(-|x - y + 1|\) sẽ đạt giá trị lớn nhất bằng 0 khi \(x - y + 1 = 0\) hay \(x = y - 1\).

3. Xét khi \(x = 4\):
- Thay \(x = 4\) vào biểu thức, ta có:
\( |4 - y + 1| = |5 - y| \).
- Do đó \(P\) trở thành:
\[ P = 0 - |5 - y| + 8 = 8 - |5 - y|. \]
- Để \(P\) đạt giá trị lớn nhất, \(|5 - y|\) phải đạt giá trị nhỏ nhất, tức là bằng 0 khi \(y = 5\).

4. Tính giá trị của \(P\):
- Khi \(y = 5\), ta có:
\[ P = 8 - 0 = 8. \]

Từ các phân tích trên, GTLN của biểu thức \(P\) là 8.

Tóm lại, giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(8\) khi \(x = 4\) và \(y = 5\).