cho B=3+3 mũ 2 +3 mũ 3+3 mũ 4+............+3 mũ 100 .tìm số dư trong phép chia B cho 13

Để tính số dư của B khi chia cho 13, trước tiên, chúng ta cần xác định biểu thức B.

Biểu thức B có thể được viết lại như sau:

B = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^100.

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu là 3 và công bội là 3.

Chúng ta có thể sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân để tính tổng này:

Tổng S của cấp số nhân với số hạng đầu a, công bội q, và n số hạng sẽ là:

S = a * (1 - q^n) / (1 - q) (n > 1).

Trong trường hợp này:

- a = 3
- q = 3
- n = 100.

Do đó:

B = 3 (1 - 3^100) / (1 - 3) = 3 (1 - 3^100) / (-2) = -3/2 * (1 - 3^100).

Tuy nhiên, để tiết kiệm công sức, chúng ta có thể tìm số dư của từng phần 3^k khi chia cho 13 và sau đó lấy tổng các số dư.

Dựa vào định lý Fermat, nếu p là một số nguyên tố và a là một số không chia hết cho p, thì:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Với p = 13, ta có:

3^(12) ≡ 1 (mod 13).

Sử dụng chu kỳ này, chúng ta sẽ tìm số dư của 3^k (mod 13) cho k từ 1 đến 100:

- 3^1 ≡ 3 (mod 13)
- 3^2 ≡ 9 (mod 13)
- 3^3 ≡ 27 ≡ 1 (mod 13)
- 3^4 ≡ 3 (mod 13)
- 3^5 ≡ 9 (mod 13)
- 3^6 ≡ 1 (mod 13)
- ...

Nhận thấy rằng chu kỳ là 3, ta có:

- 3^(3k+1) ≡ 3 (mod 13)
- 3^(3k+2) ≡ 9 (mod 13)
- 3^(3k) ≡ 1 (mod 13)

Ta xác định có 100 số hạng, chia đều ra 33 nhóm đầy đủ của chu kỳ 3 và 1 số dư là 1.

Số lượng trong 100 sẽ có:
- 33 lần 3 (cho các k = 1, 4, 7,..., 100) => tổng là 33 * 3 = 99.
- 33 lần 9 (cho các k = 2, 5, 8,..., 99) => tổng là 33 * 9 = 297.
- 34 lần 1 (cho các k = 3, 6, 9,..., 99) => tổng là 34 * 1 = 34.

Cuối cùng, cộng lại:

B = 99 + 297 + 34 = 430.

Bây giờ, chúng ta tính số dư của 430 khi chia cho 13:

430 mod 13 = 1.

Vậy số dư của B khi chia cho 13 là 1.