Giải hệ phương trình sau:

Để giải hệ phương trình:

1) \( x - y = 10 \)
2) \( \frac{120}{y} - \frac{120}{x} = \frac{3}{5} \)

Bước đầu tiên, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \) từ phương trình (1):

\( y = x - 10 \)

Bây giờ, thay biểu thức này vào phương trình (2):

\( \frac{120}{x - 10} - \frac{120}{x} = \frac{3}{5} \)

Tiến hành tìm mẫu số chung để rút gọn phương trình:

Mẫu số chung của \( x - 10 \) và \( x \) là \( x(x - 10) \). Vậy phương trình trở thành:

\( \frac{120x - 120(x - 10)}{x(x - 10)} = \frac{3}{5} \)

Giải phương trình bên trên:

1. Tính tử số:

\( 120x - 120(x - 10) = 120x - 120x + 1200 = 1200 \)

Vậy phương trình tương đương với:

\( \frac{1200}{x(x - 10)} = \frac{3}{5} \)

2. Điều chỉnh phương trình:

Nhân chéo:

\( 1200 \cdot 5 = 3 \cdot x(x - 10) \)

\( 6000 = 3x^2 - 30x \)

3. Chuyển hết về một phía:

\( 3x^2 - 30x - 6000 = 0 \)

4. Rút gọn:

Chia cả phương trình cho 3:

\( x^2 - 10x - 2000 = 0 \)

5. Áp dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

Nghiệm sẽ là:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

Ở đây, \( a = 1, b = -10, c = -2000 \):

\( x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000)}}{2 \cdot 1} \)

\( = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 8000}}{2} \)

\( = \frac{10 \pm \sqrt{8100}}{2} \)

Vì \( \sqrt{8100} = 90 \):

\( = \frac{10 \pm 90}{2} \)

Do đó, ta có hai nghiệm:

1. \( x_1 = \frac{100}{2} = 50 \)
2. \( x_2 = \frac{-80}{2} = -40 \) (loại vì không hợp lệ với bối cảnh)

Chọn \( x = 50 \).

6. Thay vào biểu thức \( y = x - 10 \):

\( y = 50 - 10 = 40 \)

Cuối cùng, nghiệm của hệ phương trình là:

\( x = 50, y = 40 \)