Cho A = x^2 + 4x + 17/4. Chứng tỏ A luôn dương với mọi x

Để chứng minh rằng A = x^2 + 4x + 17/4 luôn dương với mọi x, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích bậc hai.

Đầu tiên, A có thể được viết lại dưới dạng:

A = x^2 + 4x + 17/4.

Chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho biểu thức x^2 + 4x.

x^2 + 4x có thể được viết thành (x + 2)^2 - 4, vì:

(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4.

Do đó:

x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4.

Thay vào biểu thức A:

A = (x + 2)^2 - 4 + 17/4.

Bây giờ, để dễ dàng tính toán, chúng ta có thể đưa 4 về cùng mẫu với 17/4:

4 = 16/4.

Vậy,

A = (x + 2)^2 - 16/4 + 17/4
= (x + 2)^2 + 1/4.

Biểu thức (x + 2)^2 luôn không âm (≥ 0) với mọi x, vì bình phương của bất kỳ số nào đều không âm. Thêm vào đó, 1/4 luôn dương.

Khi một số không âm (bất kỳ giá trị của (x + 2)^2) được cộng với một số dương (1/4), kết quả A sẽ luôn dương.

Do đó, với mọi giá trị của x, A = x^2 + 4x + 17/4 luôn lớn hơn 0.

Kết luận: A luôn dương với mọi x.