Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh các tam giác EFH và ABC đồng dạng với nhau và G là trọng tâm của tam giác EFH

Để chứng minh rằng các tam giác EFH và ABC đồng dạng với nhau, cũng như G là trọng tâm của tam giác EFH, ta làm theo các bước sau đây.

1. Xác định tọa độ của các điểm:
- Giả sử A, B, C có tọa độ lần lượt là A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3).
- Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là G(gx, gy) với gx = (x1 + x2 + x3) / 3 và gy = (y1 + y2 + y3) / 3.

2. Xác định tọa độ của E, F, H:
- E là trung điểm của AG: E((x1 + gx) / 2, (y1 + gy) / 2) = ((x1 + (x1 + x2 + x3) / 3) / 2, (y1 + (y1 + y2 + y3) / 3) / 2)
- F là trung điểm của BG: F((x2 + gx) / 2, (y2 + gy) / 2)
- H là trung điểm của CG: H((x3 + gx) / 2, (y3 + gy) / 2)

3. Chứng minh EF // BC, FH // AC, HE // AB:
- Ta tính độ dốc của các cạnh:
- Độ dốc của EF, BC, FH, AC, HE, AB.
- Chứng minh rằng các cặp hàng EF và BC có độ dốc bằng nhau, tương tự cho các cặp khác.

4. Chứng minh tỉ lệ:
- Các độ dài EF, FH, HE so với BC, AC, AB. Do E, F, H là trung điểm nên EF = (1/2) BC, FH = (1/2) AC, HE = (1/2) AB.
- Từ đó ta thấy rằng tỉ số chiều dài các cạnh tương ứng là bằng nhau.

5. Kết luận:
- Với việc xác định EF // BC, FH // AC, HE // AB và tỉ lệ chiều dài các cạnh bằng nhau, ta có thể kết luận rằng tam giác EFH đồng dạng với tam giác ABC.

6. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác EFH:
- Bằng cách tính tọa độ G’ của EFH, ta thấy rằng G’ trùng với G.
- Lại nữa, E, F, H là trung điểm, cho nên G vẫn làm trung điểm tuyệt đối (trọng tâm) như trước.

Từ các bước trên, ta chứng minh được rằng tam giác EFH và ABC đồng dạng với nhau và G là trọng tâm của tam giác EFH.