4 điểm A,B,C,D bất kỳ gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD , O là trung điểm EF.  Chứng minh véc tơ  OA + véc tơ OB + véc tơ OC + véc tơ OD = véc tơ 0

Để chứng minh vectơ OA + vectơ OB + vectơ OC + vectơ OD = vectơ 0, ta sẽ sử dụng một số khái niệm cơ bản trong hình học không gian và tính chất của trung điểm.

Gọi các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là:

A(x1, y1, z1)
B(x2, y2, z2)
C(x3, y3, z3)
D(x4, y4, z4)

1. Tính tọa độ của các điểm trung điểm E và F:

- Điểm E là trung điểm của AB, do đó tọa độ của E được tính như sau:

E((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2)

- Điểm F là trung điểm của CD, nên tọa độ của F là:

F((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2, (z3 + z4)/2)

2. Tính tọa độ của điểm O:

Điểm O là trung điểm của EF, được tính ra như sau:

O(( (x1 + x2)/2 + (x3 + x4)/2 ) / 2 , ( (y1 + y2)/2 + (y3 + y4)/2 ) / 2, ( (z1 + z2)/2 + (z3 + z4)/2 ) / 2)

Khi rút gọn, tọa độ của điểm O có thể biểu diễn là:

O((x1 + x2 + x3 + x4) / 4, (y1 + y2 + y3 + y4) / 4, (z1 + z2 + z3 + z4) / 4)

3. Tính các vectơ OA, OB, OC, OD:

- Véc tơ OA = A - O = (x1 - (x1 + x2 + x3 + x4)/4, y1 - (y1 + y2 + y3 + y4)/4, z1 - (z1 + z2 + z3 + z4)/4)
- Véc tơ OB = B - O = (x2 - (x1 + x2 + x3 + x4)/4, y2 - (y1 + y2 + y3 + y4)/4, z2 - (z1 + z2 + z3 + z4)/4)
- Véc tơ OC = C - O = (x3 - (x1 + x2 + x3 + x4)/4, y3 - (y1 + y2 + y3 + y4)/4, z3 - (z1 + z2 + z3 + z4)/4)
- Véc tơ OD = D - O = (x4 - (x1 + x2 + x3 + x4)/4, y4 - (y1 + y2 + y3 + y4)/4, z4 - (z1 + z2 + z3 + z4)/4)

4. Tính tổng các vectơ:

Tính tổng các vectơ OA, OB, OC, OD:

OA + OB + OC + OD = (x1 + x2 + x3 + x4 - (x1 + x2 + x3 + x4)) + (y1 + y2 + y3 + y4 - (y1 + y2 + y3 + y4)) + (z1 + z2 + z3 + z4 - (z1 + z2 + z3 + z4))

Kết quả sẽ là:

OA + OB + OC + OD = (0, 0, 0) = vectơ 0.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng vectơ OA + vectơ OB + vectơ OC + vectơ OD = vectơ 0.