giải các bước ra dùm em ạ, e cảm ơn

Để xác định giá trị của a để hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 2, ta cần xem xét định nghĩa về tính liên tục. Hàm số f(x) sẽ liên tục tại x₀ = 2 nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1. Hàm f(2) phải xác định.
2. Giới hạn của hàm f(x) khi x tiến gần đến 2 phải tồn tại và bằng giá trị của hàm tại điểm đó, tức là:

lim (x → 2) f(x) = f(2).

Hàm số f(x) được định nghĩa như sau:

f(x) = {
a, khi x ≤ 2
(3 - √(x + 7)) / (x - 2), khi x > 2.
}

Bây giờ, tính toán f(2):

- Khi x = 2, theo định nghĩa của hàm, ta có:

f(2) = a.

Tiếp theo, cần tính giới hạn của f(x) khi x tiến đến 2 từ phía bên phải (x > 2):

lim (x → 2⁺) f(x) = lim (x → 2⁺) (3 - √(x + 7)) / (x - 2).

Thay giá trị x = 2 vào biểu thức này, ta có:

lim (x → 2⁺) (3 - √(2 + 7)) / (2 - 2) = (3 - √9) / 0 = (3 - 3) / 0 = 0 / 0.

Giới hạn này có dạng không xác định, vì vậy ta cần sử dụng quy tắc L'Hôpital để tìm giới hạn.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta tính đạo hàm của tử và mẫu:

- Đạo hàm của tử (3 - √(x + 7)) là -1 / (2√(x + 7)).
- Đạo hàm của mẫu (x - 2) là 1.

Bây giờ, ta tính giới hạn mới:

lim (x → 2⁺) -1 / (2√(x + 7)),
thay x = 2 vào:

= -1 / (2√(2 + 7)) = -1 / (2√9) = -1 / 6.

Vậy giới hạn này bằng -1/6.

Để hàm f(x) liên tục tại x = 2, theo điều kiện đã nêu:

f(2) = lim (x → 2⁺) f(x),
a = -1/6.

Do đó, giá trị của a để hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 2 là a = -1/6.